Компаланарность векторов.

[Double shoot]

MZ

`TZ`
Докажите, что векторы m = a + b - c, h = 2a - b + c и p = 8a - b + c компланарны.
[[/TZ]]

Подскажите с чего начинать решать данную задачу.

Заранее благодарю.

@темы: Векторная алгебра

Comments

[Дилетант]

Сначала разобраться с определениями.
Что такое компланарные векторы, и какие существуют признаки компланарности?

[Дилетант]

Если эти вопросы для вас подъемны, то найдите смешанное произведение этих векторов.

[Double shoot]

Легко - компланарными называются три или более векторов, лежащих в одной плоскости и исходящих из одной точки.
За наводку спасибо, сейчас постараюсь решить.

[Дилетант]

На всякий случай тут есть формула:
ru.wikipedia.org/wiki/Смешанное_произведение
Определитель в вашем случае считается очень просто

[Гость]

Определитель? Матрицу я еще не изучал, по другому никак нельзя?
Так или иначе, посмотрю насчет матрицы, быть может быстро соображу в чем дело.

[Дилетант]

Гость
разобрались?
Если нет, задавайте вопросы.

[Robot]

Ну, векторы компланарны тогда и только тогда, когда они линейно зависимы.
то есть вопрос о компланарности можно свести к вопросу о линейной зависимости этих трех векторов. (или троек арифметических векторов, составленных из координат)
Если Вы знакомы с аппаратом для выяснения этого, то вперед..

[Double shoot]

Robot, линейную зависимость изучил, вот что получилось:

Для того, чтобы данная систем векторов была линейно зависимой необходимо, чтобы, при хотя бы одном из коэффициентов отличном от нуля, результат принимал значение нуля:

a1 * m + a2 * h + a3 * p = 0

m = a + b - c = a + (b - c) = a + y

h = 2a - b + c = 2a - (b - c) = 2a - y

p = 8a - b + c = 8a - (b - c) = 8a - y

(a + y) * 2 = 2a + 2y
(8a - y) * (-1) = y - 8a
(2a - y) * 3 = 6a - 3y

2a + 2y + y - 8a + 6a - 3y = 0

Данная система векторов - линейно зависимая.
Линейная зависимость - критерий компланарности, отсюда делаем вывод, что данные вектора компланарны.

Верно?

Дилетант, в данный момент я в 10 классе, поэтому еще до матрицы не дошел, однако обязательно посмотрю и изучу, сейчас не могу разрываться - необходимо доделать геометрию и еще некоторые предметы.

[Robot]

В принципе так, правда, я ни за чтобы не догадалась, что надо брать такие коэфициенты - решала бы систему

Только почетче вывод: Данная система векторов - линейно зависимая, так как существуют
а1=2 а2=3, а3=-1, такие что a1 * m + a2 * h + a3 * p = 0

[Double shoot]

То есть все верно, за исключение расплывчатого вывода?
Честно говоря, коэффициенты были подобраны логически без вычислений на бумаге, нужно решить системой?

[Robot]

Ну, я решила системой. Хотя в принципе даже если найдены подбором, решение все равно верно.
Ведь для компланарности достаточно показать, что существуют а1, а2, а3, не все равные 0, такие что. и т.д. Это сделано
Для решения системой нужно еще тогда пользоваться, что а, b, c линейно независимы (то есть даны разложения по базису)
a1(a+b-c)+a2(2a-b+c)+a3(8a-b+c)=0
Сгруппировать с а, b, с.
Если a,b,c -базис.то линейная их комбинация равна 0 тогда и только тогда, когда все коэфф. равны 0
и решать систему
a1+2a2+8a3=0
a1-a2-a3=0
-a1+a2+a3=0

[Double shoot]

Robot, в будущем обязательно учту это.

Дилетант, Robot, спасибо вам большое!

[Robot]

Пожалуйста

[Дилетант]

Double shoot

в данный момент я в 10 классе,

А в профиле написано, что вам 62 года
Извините.
Поэтому когда в следующий раз будете обращаться, желательно поставить уровень сложности.