[Dr. NeveX]

Здравствуйте. Скажите мне пожалуйста, почему ряд Тейлора сходится именно к sin(x), cos(x). Я когда сегодня отвечал на вопрос на экзамене, я выписал формулу Ряда, расписал Маклорена для элементарных функций. Но оказалось что там ещё надо чтото доказать. У меня естественно были квадратные глаза (что тут доказывать и как???). В ответ мне сказали чтото вроде вышеприведённого вопроса. В общем я так и не сообразил...

Comments

[Trotil]

Там очень простое доказательство.

Возьмем произвольную f(x) и попробуем ее представить многочленом g(x) = an(x-x0)^n + a_(n-1)(x-x0)^(n-1) + a1(x-x0) + a0

Логично, что

f(x0) = g(x0)
f'(x0) = g'(x0)
f''(x0) = g''(x0)
...

Берем f(x0) = g(x0)

Из что этого следует, если подставить в исходное уравнение?

[Dr. NeveX]

Так значит a1...an - это просто производные f(x) от 1 до n???

[Trotil]

Так значит a1...an - это просто производные f(x) от 1 до n???

А в формуле что стоят? Производные там и стоят. Правда, не совсем производные, а с доп. коэф.

[Dr. NeveX]

Ок, спасибо, я так понял вот всё док-во:

Пусть f(x)=E a_k*x^k. Тогда f'(x)=E k*a_k*x^(k-1). Так как f(x) беск. дифф. то мы можем установить закономерность f(x)= an(x-x0)^n + a_(n-1)(x-x0)^(n-1) +...+ a1(x-x0) + .... Но тогда если a1...ax - производные f(x) то получаем приведённую выше формулу.

[Trotil]

Но тогда если a1...ax - производные f(x) то получаем приведённую выше формулу.

Не очевидно.
Нужно расписывать (проблем это не должно составить).

[Dr. NeveX]

Ааааааааааааааааааа я понял просто подставить значения используя формулу производной!!! Походу я затупил немного)))

Хорошо, это понятно, слава Богу)) Но вот я посмотрел в конспекте есть ещё одна теорема почти сходная, только там ещё добавляется что остаточный член меньше константы и стремится к нулю. Потом приводятся примеры разложений элементарных функций, где показано что радиус сходимости равен бесконечности. Это как-то связано между собой (теорема и примеры)?

[Гость]

Помогите пожалуйста мне завтра этот же билет рассказывать!!!!!!