Матан

[Adjirranirr]

Здравствуйте.

Предлагаю вниманию заинтересованных немного прочищающую мозг задачку, для разминки =)

А вот и она

Пусть задана функция ƒ(x): [0; 1] → R такая, что
∀x ∈ [0; 1]: lim_t→xƒ(t) = 0.
Доказать, что
∃x₀: ƒ(x₀) = 0.

@темы: Математический анализ

Comments

[Гость]

от противного
пусть для любого х из [0;1] f(x) не = 0; рассмотрим множ. Мn = {x/| f(x)|>=1/n}
для ∀n Mn - конечное мн-во
объединение всех Mn - счётное множество и совпадает с [0;1]
противоречие

[gvsmirnov]

Гость

для ∀n Mn - конечное мн-во

Это ещё почему?

Adjirranirr
Сдаётся мне, что не правда это. Хотя только мельком посмотрел ещё.

[Гость]

если оно бесконечное, то по лемме Больцано-Вейерштрасса из него можно выделить сходящуюся последовательность, котораая будет сходиться к х0∈[0;1], а соответствующая посл-ть знач-ий ф-ции f не будет сходится к 0

[gvsmirnov]

[Гость]

гы
при х -> 1/2 f(x) -> 1/2

[gvsmirnov]

Чего-чего?

[Гость]

при х -> 1/2 x/2 -> 1/4, а f(x/2) -> 0 по условию
следовательно f(x) = (x -| f(x/2)|) -> 1/2 при х -> 1/2

[gvsmirnov]

...
Напутал со знаками я

[mpl]

Спасибо программистам ... Идет восстановление базы ...