11 класс, стереометрия...вопрос.

[Luna Ultraviolet]

Уважаемые любители математики и прочих точных наук!
Подскажите пожалуйста, каким образом в стереометрических задачах нужно искать расстояние между прямыми? В частности есть задача, где дан куб ABCDA1B1C1D1, сторона которого равна конкретному числу; найти нужно расстояние между диагональю самого куба (то есть B1D) и диагональю одной из граней (CD1). Число специально не даю, потому что хочется понять сам метод решения, а не увидеть готовый ответ.

Буду премного Вам благодарна.

Актуально до 03.00 мск.
(даны указания)

@темы: Стереометрия

Comments

[Reflendey]

Метод координат проходили?
Если да, то им удобнее всего...

[Robot]

Расстояние между скрещивающимися прямыми обычно ищется
а) как длина их общего перпендикуляра;
б) как расстояние между содержащими их параллельными плоскостями;
в) как расстояние от одной прямой до плоскости, ей параллельной и проходящей через другую прямую;
г) по формуле аналитической геометрии (для которой нужны уравнения этих прямых) саму формулу и не вспомню сейчас. Но это уже вышка.

[Reflendey]

Luna-Ultraviolet
Раз проходили:
Ищем уравнения обоих прямых, потом ищем вектор, перпендикулярным направлящим векторам сразу ОБОИХ прямых. Он очевидно будет вектором нормали для техпаралельных плокостей, в которых лежат срещивающиекся прямые.
Тогда расстояние между этими прямыми -расстояние между плоскосями(уравнение псоледних можно найти подстави в общее уравнение плосоксти по точке от каждой прямой)
ну и остаётся найти рассятоние между плоскостями, то есть от одной плоскости до точки другой плоскости, для чего есть хорошая формула.

[Luna Ultraviolet]

Соображаю, что здесь самым подходящим будет найти длину общего перпендикуляра. В математическом словаре прочитала, что это расстояние между ближайшими точками данных прямых. Но кроме того, там говорится, что этот отрезок будет перпендикулярен каждой из прямых. Вот это мне не совсем ясно. Объясните пожалуйста, как найти отрезок, который был бы перепендикулярен и диагонали куба, и диагонали боковой грани?

[Luna Ultraviolet]

Puteror спасибо Вам большое, только это всё же задача не на векторы. Дана длина грани, это вполне существующее число. Тем не менее за труды и внимание — низкий Вам поклон =)))

[Reflendey]

Luna-Ultraviolet
То что она не на векторы понятно, но подобные задачи легко к ним сводятся. Впрочем, при отстувии желания нет смысла это делать)

[Robot]

Luna-Ultraviolet Нахождение общего перпендикуляра обычно и бывает самым сложным
Сейчас наблюдается некий рассинхрон
на мой взгляд здесь оптимальным будет

в) как расстояние от одной прямой до плоскости, ей параллельной и проходящей через другую прямую;

я напишу свои соображения, но не обещаю, что прямо сейчас
Но до назначенного срока постараюсь

[Luna Ultraviolet]

Robot спасибо Вам огромное)))
Учитывая, что общий перпендикуляр - это ближайшее расстояние, у меня появилась такая идея: не будет ли здесь расстояние между серединами данных прямых являться этим самым перпендикуляром?

[Дилетант]

Мне кажется, что тут будет вот так:

Искомое расстояние ОD1.

Вроде бы можно доказать, что этот отрезок перпендикулярен обеим прямым.
Там все углы по 90 и 45 градусов.

[Luna Ultraviolet]

Дилетант , ого, спасибо Вам))

Правда, я вот сейчас прочитала, что расстоянием между скрещивающимися прямыми можно назвать расстояние от точки, являющейся проекцией одной из данных прямых на перпендикулярную ей плоскость, до проекции другой прямой на эту же плоскость. В таком случае расстоянием между прямыми B1D и CD1 будет отрезок, равный половине длины диагонали боковой грани куба.
Robot , верна ли эта идея?

[Robot]

Я не думала сейчас над Вашими идеями и все равно так быстро не отвечу, это совершенно другой подход, чем тот, о котором сейчас напишу я
Я лично строила плоскость, параллельную диагонали куба и проходящую через диагональ боковой грани

[Luna Ultraviolet]

Robot, просвет есть
Спасибо большое =)) Дальше своим ходом)

[Robot]

Я уж допишу свое решение, ладно?
Мы проводим Д1Т||В1Д в плоскости диагонального сечения, понятно, что В1Д1ТД параллелограмм, ДТ=a*sqrt2 (a- сторона куба)
Выделена серым плоскость, параллельная В1Д и проходящая через СД1
Достаточно найти расстояние о В1Д до этой плоскости, в частности от Д до этой плоскости.
Тут уже можно строить перпендикуляр - он будет лежать в плоскости, проходящей через Д и перпендикулярной серой плоскости.
Но можно перпендикуляр и не строить
А двумя способами найти объем пирамиды Д1ДСТ
Один раз как пирамиды с вершиной Д1, высотой Д1Д и основанием - теугольником ДСТ (угол СДТ =135)
Второй раз как пирамиды с вершиной Д, с неизвестной (но как раз нужной нам) высотой - расстоянием от Д до серой плоскости и основанием Д1СТ
==
возможно, что тут будут вычислительные трудности
Но на ЕГЭ этот прием часто используется.

[Гость]

Robot , и ещё раз большое спасибо Вам)))
Простите, что анонимно, просто уже вышла из аккаунта)
Luna-Ultraviolet.

[mpl]

Владелец дневника видит IP-адреса пользователей, оставивших комментарии!