[con-stant]

У меня сразу несколько затычек с вычислительной математикой, например не пойму смысла метода итераций для решения систем и просто уравнений, вот например x^4+5x-7=0 при x больше 0 с точностью до 10^-2. Помогите пожалуйста.
(решено)

Comments

[Trotil]

Предупреждаю, что по вычмату у нас знающих людей почти нет. Есть вероятность, что никто не ответит на ваш вопрос.

[con-stant]

хорошо ,спасибо за предупреждение и информацию.

[Элайт,]

системы линейных уравнений?

насчет просто уравнения. сначала нужно отделить корни (найти отрезок, где функция монотонна и имеет на концах отрезка разные знаки), а потом на найденном отрезке мы находим середину, т.е. х и смотрим, обращается ли функция f(x)=x^4+5x-7 в ноль. если нет, то находим тот отрезок, на концах которого функция принимает разные знаки и снова делим его пополам. Вообще, результаты достаточно удобно в форме таблицы записывать.
собственно, процедура повторяется - это и есть итерация. Точность оценивается как разность соседних x.

это очень быстро о методе. задавайте вопросы, мне так легче будет написать )) а то я не знаю, что именно вы не понимаете

[con-stant]

на сколько я понимаю этот метод называется еще методом половинного деления,так?

[Элайт,]

да, это он.

[con-stant]

тогда я не понимаю,у меня в задании два примера идет подряд про одно и то же уравнение,но в одном говорится о половинном делении (так решение получилось), а во втором о методе итераций (над ним я уже долго бьюсь и никак ничего вразумительного не получается).

[Элайт,]

так. Перелистала теорию. Есть еще нечто, у меня озаглавленное "метод простых итераций". Не оно?

сейчас напишу.

[con-stant]

наверное оно,в интернете искал - вроде пытаюсь решать, а решение не приближается к корню, а наоборот с каждой новой итерацией охватывает все большее числовое пространство.

[Элайт,]

ага. т.е. вы уже представили в виде, удобном для итерации?
проблема расходимости скорее всего в том, что выбран неправильно интервал для определения С. Посмотрите точно, чтоб функция на концах интервала имела разные знаки.

(ищу методичку)

[con-stant]

возможно я неправильно представил функцию. Посмотрите пожалуйста: x^4+5x-7=0, иначе будет x=-x^4/5+1,4, это по- моему неудобно,так? еще был вариант x=x+x(x^4+5x-7).

[Элайт,]

да, проблема в представлении функции.
должно быть x=x+C(x^4+5x-7), где С - постоянная, которую нужно определить по формуле:
С>-2/max(F'(x)) - это если производная больше нуля.
если меньше, то C<2/max(F'(x))

[con-stant]

Так,производная у нас F'(x)=4x^3+5, но это постоянно возрастающая функция, тогда откуда мне взять ее максимум?

[Элайт,]

Тут есть немного заумной теории на тему.

блин, методички нету, буду писать как умею))

[Элайт,]

con-stant почему это постоянно возрастающая? вы чего?) производную приравнивайте нулю, находите ноль и методом интервалов смотрите. Другое дело, что там минимум получается. Можно это и подбором делать. Отделив корни, посмотреть на интервале, где будет произвольная максимальна.

[con-stant]

тогда критическая точка функции x=-1.0772, но по условию x больше 0.

[Элайт,]

у вас есть интервал, на котором ищете корни? [a,b] ? грубо говоря, если [2,3], то можно взять значение функции в точке x=2,9

[con-stant]

нет,в этом и проблема. Задание точно такое:
Методом итераций с точностью =10:-^-2 решить уравнение:
x^4+5x-7=0 (x>0)

[Элайт,]

вы должны найти этот интервал! это первый шаг при решении уравнения!
либо графически, либо аналитически, либо подбором.)
смотрите, где на концах отрезка будут у функции разные значения (ведь она монотонно возрастает, значит действительное значение будет только одно)

[con-stant]

Ясно,примерно этот интервал можно из предыдущего задания взять, скажем при x=1,105 функция>0,а при x=1.103 уже меньше,что делать дальше?

[Элайт,]

ну, если там уравнение то же самое, то можно) корень-то все равно никуда не убежит. только вы взяли очень маленький интервал. удобнее будет, если хотя бы в 1 будет разница (хотя это уже пробовать нужно, потому что еще ж точность нужно учитывать, да и решение подлиннее, а не сразу готовый ответ, в общем, смотрите сами))).
дальше находим максимум производной. я б не советовала брать крайние значения. лучше, чтоб побольше было, но не самое. потом находите С
подставляете в итерационную формулу и считаете. и да, нужно взять начальное приближение x0, в принципе - это может быть даже 0. или одна из границ интервала.

[con-stant]

и да, нужно взять начальное приближение x0, в принципе - это может быть даже 0. или одна из границ интервала.

Поясните пожалуйста,для чего и как взять?

[Элайт,]

x=x+C(x^4+5x-7) - это итерационная формула, т.е.
x1=x0+C(x0^4+5x0-7)
x2=x1+C(x1^4+5x1-7)
и тд.
чтоб с чего-то начать, нужно задать x0.

х0 должен принадлежать интервалу.

[con-stant]

так,ну а С я считаю равным F'(x0)?

[Элайт,]

С>-2/max(F'(x)) - это если производная больше нуля.
если меньше, то C<2/max(F'(x))

С - в принципе-то тоже почти произвольный, он принадлежит интервалу от (0,2/max(F'(x)) ну и наоборот, соответственно.

[Элайт,]

извините, если немного невнятно, я готовлюсь к семинару завтрашнему. матмод, что б его -_-

[con-stant]

Спасибо,все понял,без вас бы не разобрался,можно еще пример? теперь система.

[Элайт,]

рада помочь)
а какая система?

[con-stant]

посмотрите - я новую тему задал на главной страничке.

[mpl]

Владелец дневника видит IP-адреса пользователей, оставивших комментарии!