Пожалуй, не найдется ни одного сборника головоломок и занимательных задач по математике, который бы не содержал задачи на переливание.. И, наверное, все смотрели фильм "Крепкий орешек 3", в котором преступник задает Брюсу Уиллису и его напарнику простейшую задачу этого класса.
Предлагаю вашему вниманию флэш-головоломку, посвященную задачам на переливание
ВодоматикаВодоматика
Для начала игры щелкните правой кнопкой мыши и выберите: воспроизвести
На всякий случай, если игра не воспроизводится, даю ссылку на страницу с игрой ВодоматикаЗаметим, что существуют общие методы решения таких задач:
Метод математического бильярдаМетод блок-схемО бильярдном методе можно почитать в книге
Я.И.Перельман Занимательная геометрия М.: ГИФМЛ, 1959 (стр. 233-239)( скачать можно
здесь)
или в книге
Гальперин Г. А., Земляков А. Н. Математические бильярды (бильярдные задачи и
смежные вопросы математики и механики).— М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990.— 288 с.— (Б-чка «Квант». Вып. 77) (скачать можно
рапида (5 мб) или
ifolder.ru )Поскольку там всего несколько страничек, то я даю их здесь
Выдержка из книги "Математические бильярды"Выдержка из книги "Математические бильярды"
Речь пойдет о «переливаниях», которые, казалось бы, не имеют уж ничего общего с бильярдами. Начнем с классической головоломки.
Имеются два сосуда вместимостью 7 и 11 литров и большая бочка, наполненная водой. Как с помощью этих двух сосудов отмерить ровно 2 литра воды? Всякие уловки запрещены, т. е. на сосудах нельзя делать никаких отметок, их нельзя наклонять, чтобы отмерять доли литра, и т. д.
Предложенная задача решается либо алгебраическим методом, либо методом проб и ошибок. При чем же здесь бильярдные шары?
.
стола! Границы таких столов удобнее всего рисовать на бумаге, на которую нанесена сетка из одинаковых равносторонних треугольников. В рассматриваемой задаче стороны стола должны иметь длины 7 и 11 единиц. По горизонтали отложено количество воды в 11-литровом сосуде в любой момент времени, а по вертикали — та же величина для 7-литрового сосуда.
Как же пользоваться диаграммой? Представьте себе, что шар находится в левой нижней вершине в точке 0. Он будет перемещаться вдоль нижнего основания ромба до
тех пор, пока не достигнет правой боковой стороны в точке 11. Это означает, что 11-литровый сосуд наполнен до краев, а 7- литровый пуст. Отразившись упруго от правого борта, шар покатится вверх и влево и ударится о верхний борт в точке с координатами 4 по горизонтали и 7 по вертикали. Это означает, что в 11-литровом сосуде осталось всего 4 литра воды, а 7 литров из него перелили в меньший сосуд.
Прослеживая дальнейший путь шара и записывая все этапы его движения до тех пор, пока он не попадет в точку 2 верхнего борта, вы получите ответ и узнаете, в какой последовательности необходимо производить переливания, чтобы отмерить 2 литра воды. Все 18 переливаний изображены схематически на рис. В.4. Наклонные стрелки говорят о том, что вода переливается из одного сосуда в другой, а вертикальные означают, что либо вода целиком выливается из меньшего сосуда обратно в бочку, либо больший сосуд надо наполнить водой до краев.
Является ли это решение самым коротким? Нет, существует второй путь, когда воду сначала наливают в 7-литровый сосуд. На диаграмме это соответствует тому, что шар из точки 0 катится вверх вдоль левого борта до тех пор, пока не ударится в верхний борт. Нарисовав траекторию бильярдного шара, читатель убедится в том, что точка 2 достигается на этот раз за 14 отражений от борта. Полученное решение с 14 переливаниями уже является самым коротким.
Требуется немного сообразительности, чтобы применить метод бильярдного шара к любой задаче о переливании жидкости с помощью не более чем трех сосудов. Поскольку кроме как во введении об этих задачах мы говорить больше не будем, поговорим об этом методе здесь более подробно.
Рассмотрим старую головоломку с тремя сосудами, восходящую еще к Никола Фонтана, итальянскому математику XVI века, которого друзья называли Тартальей .
Восьмилитровый сосуд до краев наполнен водой. С помощью двух пустых сосудов объемом 3 и 5 литров воду надо поровну разлить в два больших сосуда. Диаграмма для этой задачи — ромбический стол размером 3X5 — изображена на рис. В.5. Главная диагональ ромба, поделенная наклонными прямыми на 8 частей, относится к 8-литровому сосуду.
Как и в предыдущей задаче, бильярдный шар начинает свое движение из точки 0. Нарисовать его траекторию совсем несложно. С ее помощью вы получите решение в минимальным числом переливаний, равным 7.
.
мощью этих трех сосудов можно отмерить любое целое число литров, начиная с 1 литра и кончая объемом среднего сосуда
Имея, например, сосуды вместимостью 15, 16 и 31 литр, вы сумеете отмерить любое количество воды от 1 до 16 литров. Такая процедура невозможна, если объемы двух меньших сосудов имеют общий делитель (подумайте сами, почему). Когда объем большего сосуда меньше суммы объемов двух других, возникают новые ограничения. Если, например, объемы сосудов равны 7, 9 и 12 литрам, то у ромбического стола надо отсечь нижний правый угол (рис.В.6). Тогда шар сможет попасть в любую точку от 1 до 9, за исключением точки 6. Несмотря на то, что 7 и 9 взаимно просты, отмерить 6 литров воды оказывается невозможным из-за того, что самый большой сосуд имеет слишком маленький объем.
Отметим , что обобщение указанного метода на случай четырех сосудов сводится к движению бильярдного шара в объемной (тетраэдрической) области.
-
-
14.02.2009 в 19:48Здорово! )))
Захватывающая вещь! Сижу, водичку переливаю, вместо того, чтоб работать! )))
А вообще — очень интересно.
-
-
14.02.2009 в 20:44Вообще, оказывается, из игр могут такие непредсказуемые вещи возникать
-
-
14.02.2009 в 21:14я тоже про бильярдный метод не знала!
Очень здорово!
Я тоже думала, что тут только практикой всё достигается)))
Да вообще, сколько на свете всего удивительного!
Ты у меня в сообществе про Вороного-Дирихле читала? Чистая геометрия, а, оказывается, используется в нейронных сетях с принципом "победитель забирает всё"
Супер!
-
-
14.02.2009 в 21:40Не дошла еще до этого(((
Не успела
читала то, что здесь меня без меня было
-
-
14.02.2009 в 21:59ну и не переживай! ))))
Это я просто "в тему" вспомнила. Как в разных разделах математики самые неожиданные вещи находят применение! Это просто завораживает!
-
-
22.12.2013 в 17:55