Задача с экзамена минувшего.

[Adjirranirr]

Здравствуйте.

Сегодня был на экзамене по матану. Ничего сложного, впринципе. Но вот одну задачу решить не удалось =) Поэтому хотелось бы узнать на будущее, как решаются задачи такого рода.

Последовательность {x_n} задана

рекуррентным соотношением

рекуррентным соотношением: . Найти предел последовательности.

Мне известно 2 метода решения подобных задач.

1.

1. Если последовательность монотонна и ограничена, то можно совершить в рекуррентном равенстве предельный переход, полагая . Монотонность доказывается легко, с ограниченностью проблемы. Энивей, совершая переход, получаю

Очевидно, что c ∉ ℝ\{–∞, +∞} ⇒ c = ±∞, что противоречит условию о ограниченности и условию |c| < +∞.
Ну и вот здесь ошибка — подстановка c = 0 дает верное равенство. Да, обидно =)

2.

2. Найти представление x_n ≡ x(n), где x(n) — функция натурального элемента n. После чего найти .
Функция ищется легко: (я уже точно не помню, но примерно это).
А вот попытка найти предел успехом не увенчалась. Получается неопределенность вида 0·(–∞, которая не раскрывается никакими известными мне методами (в частности, ограничением сверху/снизу ряда, доказательство по определению предела, доказательство фундаментальности/отсуствия оной, Лопиталь, etc).

Вот. Вопрос в чем — есть ли еще какие-нибудь методы нахождения подобных пределов? Где можно почитать про пределы последовательностей, заданных рекуррентно?

@темы: Математический анализ, Пределы

Comments

[Гость]

В данном случае x[n]~ 5x[n-1]/n - т.е. грубо говоря каждый следующий член получается умножением предыдущего на 5/n т.е. после n>5 на число меньше 1, значит при любом x[1] предел сходится к 0.

[Reflendey]

Про второй способ впервые слышу, можешь сказать где можно про него почитать?
Но вот первый, по моему успешно работает, если я конечно нигде не ошибся.
Но нужно несколько случаев разобрать..
Ограниченна сверху как этоьуде видна из дальнейшего максимальным их своих членов при н от 1 до 4.
Пусть х1>1 тогда легко доказать, что последовательнось монотонно убывает при n>3, этого хватит.
х11
Тогда очевидно, что х6 больше 0 и пусть начниая с какого-то к Хк0), и таким образом свели 1ый случай ко 2ому, посослку с какого х начинать рассмотрениевпринципе не так уж и важно.
Теперь второй случай Хк(ну или даже х1 что неважно) Хотя тут вроде не ясно возрастает она или убывает при нc (с(н*с+1)/5 тоесть из
хн>c должно следовать, что хн>(н*с+1)/5 н, понятное дело, можно считать сколко угодно большим.. предположим обратное тогда должновыполнятся
неравнество (н*с+1)/5>c <=> с(н-5)>-1 т.к н сколь угодно большое, для любого сAdjirranirr говорит что она легко доказывается, видимо так и есть и я похоже дико туплю( Мне интересно как, так что проьба поделится) Вррде плучается пример решён, коненчо я много лишнего понаписал, но корректировать лень, да и некогда если учесть что теоретически я сейчас готовлюсь к экзамену по физике...

[Reflendey]

а пожалуй то, что в скобках верно... это доказывает её неубывание, а то что она не константа следует из невозможности выполнение соотвествующего равенства при разных н...

[Reflendey]

Хз, в чём дело но почему-то мой пост автоматом обрезается по крайней мере у меня создаётся такое впечатление,
поэтому придётся вот так...

Прошу прощения за орфографию

[Reflendey]

Хотя нет, это не доказательство монотонности... то что она не явлестся убывающей, ни о чём не говорит...
Разве что исходя из этого попробовать доказать, что сущесвует такое к начиная с которого она всё-таки возрастает... И вроде это следует из условия неубывания по крайней мере с какого-то номера, консанте она тоже как очевидно неравна, поэтому пусть для некого к хк(к-4)<-1, тогда следующее хк+1 будет больше чем хк, но это как раз мешает доказательству... по модулю величина получается меньше... Но, в общем. это ничего не даёт(

[Robot]

Puteror
Готовься к физике=). Забей пока на эту задачу
Успеха тебе на экзамене!

[liric]

боюсь, что не то.. но вот пример про рекуррентные.. вроде, сам метод поиска предела такой же будет..

[Adjirranirr]

liric
Это и есть первый метод.

Puteror
Монотонность при x_n < 0 следует из того, что x_n+1 – x_n = (5x_n – 1 – n·x_n)/n = (5 – n)x_n/n – 1/n > 0 при x_n > 5 – n, n > 5. Последнее неравенство доказывается тоже несложно — если предположить, что некоторый x_n < 5 – n, то тогда получается, что все последующие x_n+k > 5 – n (индукцией по k, например).
Про второй способ — ну очевидно, что если надо найти lim x_n, то если представить x_n в явном виде, то можно найти предел этого «явного вида» и он (в силу единственности предела) будет совпадать с искомым.

Ошибку нашел. Всем спасибо, что посмотрели =)