[Паломник Оптимизма!]

Этот пост, продолжение вот этой просьбы.
Выложу еще три варианта с моими вопросами. А завтра остальное выложу.

Задачи

1) Вычислить интеграл от фунции комплексного переменного по данному пути: int_AB(2*z + 1)dz, AB = {z : y = x³, z_A = 0, z_B = 1 + i}
--
К этому заданию идет вот эта теория.


Если верить этой теории, то нужно взять первообразную от подинтегрального выражения и в подставновки от начальной до конечной точки решить интеграл. Первообразная z² + z, начальная точка равна 0, конечная 1 + i. Т.е. в итоге получим 1 + 3i.
Но, зачем тогда нам дан путь (z : y = x³) ?
--

2) Найти радиус сходимости степенного ряда или вычислить его сумму: E (sin(n))*zⁿ (от 1 и до бесконечности).
--
Радиус сходимости степенного ряда вычисляется по формуле 1/p, где p = lim (|c_n|)^1/n
На сколько я помню, можно преобразовать (sin(n))^1/n -> n^1/n -> 1, что означает, что радиус сходимости равен 1, с центром в точке 0, область сходимости круг |z|4 + 2*z³ - 8*z²]
--

3) Найти лорановское разложение данной фунции в точках 0 и бесконечность [2*z - 16] / [z⁴ + 2*z³ - 8*z²]
--
Для начала я разложил фунцию на простые дроби:
[2*z - 16] / [z⁴ + 2*z³ - 8*z²] = -3/(4*z) + 2/z² + 5/(6*z + 12) - 1/(12*z - 4)
Затем по теории нужно разложить эти дроби в окресности 0 и бесконечность по степеням z.
Вот тут то как раз и закавыка - я видимо не так раскладываю, но получается что-то совершенно не то, что в приведенном примере.
--

проверено

@темы: ТФКП

Comments

[Хранитель печати]

Паломник Оптимизма
В 1 надо показать, что подынтегральная функция аналитическая. Для аналитических функций значение интеграла не зависит от пути интегрирования, а только от начальной и конечной точек. Т.е. если функция аналитическая, то условие y=x^3 можно проигнорировать .
Если функция не является аналитической, то надо сводить интеграл к криволинейным интегралам II рода

[Хранитель печати]

В 3 надо было воспользоваться тем, что:

[Паломник Оптимизма!]

Хранитель печати В первом фунция аналитическая так как выполняется условие Вейштрасса - т.е. ряд тейлора везде сходящийся, так? И значит ответ будет такой как я написал?

Во втором, несколько непонятно. Можешь написать для примера разложение какое-нибудь из четырех дробей (всмысле двух по ноль и тех же двух по бесконечности)?

[Хранитель печати]

Паломник Оптимизма
1. да, ответ будет такой.
2. Можно показать, что ряд мажорируется рядом z^n, а следовательно, по признаку Вейерштрасса, области сходимости этих рядов совпадают. Для z^n область сходимости - круг радиуса 1 с центром в нуле, следовательно, для искомого ряда область такая же. На границе круга ряд расходится.

бласть сходимости круг |z|4 + 2*z3 - 8*z2]

Тут наложилось немного из следующей задачи, я правильно понимаю?

[Хранитель печати]

3. Если разложить в ряд Лорана дробь (2z-16) / (z^2+2z-8) в окрестности бесконечно удалённой точки, что получится?
Я так понимаю, в Лорановском разложении будут присутствовать главные части. Результат разложения просто домножим на 1/z^2, чтобы получить разложение искомой дроби

Аналогично для нуля. Там будут присутствовать правильные части

[Хранитель печати]

Если со знаками не напутал, то будет так:

[Паломник Оптимизма!]

Хранитель печати Я второе сделал, оказалось, что я неверно в дробь разложил, поэтому всякая хрень получалась.
В итоге у меня получилась почти полная копия сделаного в примере, только коэффициента другие, я сделал как там.
Ответ правда другой получился - это за счет того, что я дробь не так разложил как ты.
Оставю пока как есть, если будет неверно, то тогда сделаю с дробью как у тебя, спасибо )