помогите.матанализ

[liric]

доказать бесконечную дифференцируемость неэлементарной функции.

может ли быть у её производной какой-нибудь общий вид?



спасибо

@темы: Математический анализ

Comments

[Adjirranirr]

может ли быть у её производной какой-нибудь общий вид?

Еще бы.

Для любой точки, не равной нулю, производная равна 2/x³·e^–1/x2.
В точке 0 пределы слева и справа совпадают и равны доопределенному значению ф-ии в этой точке; поэтому ф-я непрерывна и можно попробовать найти производную.
По определению,
f'(x) =

lim Δx→0		f(x + Δx) – f(x)
		Δx

Подставляем 0:
f₊'(0) =

lim Δx→0+		f(Δx) – f(0)
		Δx

= [f(0) = 0] =

lim Δx→0		f(Δx)
		Δx

=

lim Δx→0		e–1/(Δx)2
		Δx

= ...
Посчитаете этот предел, потом по аналогии посчитаете
f_–'(0) =

lim Δx→0+		f(0 – Δx) – f(0)
		–Δx

= ..., сравните с f₊'(0) (будет то же самое).
На основании полученных результатов, можно записать производную функции в виде произведения исходной функции на другую, бесконечно дифференцируемую ф-ю от x. После чего можно делать вывод, что из дифференцируемости один раз и возможности рекурсивно выразить производную через исходную ф-ю, следует так же и бесконечная дифференцируемость данной ф-ии (можно доказать по индукции, кстате).

График можно построить и увидеть здесь.