Задачи по теории вероятности

[Люцианна]

Задали очередные 15 задач, осилила, как всегда, не все. Сдавать - в среду. Вот что осталось:
Геометрические задачи:
2.5: Пусть k – количество выпадений герба, а l – количество выпадений решки в пяти бросках монеты. Найти вероятность того, что уравнение
x^2 + √ 2 kx + l= 0 не имеет вещественный решений. (не знала как обозначить корень из двух, поэтому обозначила "/")
2.6: На отрезок наудачу бросают три точки. Найти вероятность того, что третья по счету точка упадет между двумя первыми.
Задачи на условную вероятность, формулу полной вероятности и Байеса:
3.6: В первой урне n1 белых и m1 черных шаров, во второй - n2 белых и m2 черных шаров, в третьей - n3 белых и m3 черных. Из первой урны наудачу извлекают один шар и перекладывают во вторую урну. Затем перекладывают один шар из второй урны в третью, и, наконец, из третьей в первую. С какой вероятностью состав шаров в первой урне останется прежним? (дано указание)
3.7: В первой урне находится n1 белых и m1 черных шаров, во второй - n2 белых и m2 черных шаров. Из первой урны без возвращений извлекают k1 шаров, а из второй - k2 шаров. Все извлеченные шары кладут в третью урны, из которой наудачу извлекается один шар. Какова вероятность того, что он белый? (дано указание)
3.10: В двух урнах содержится соответственно n1 и n2 шаров, из них белых шаров k1 и k2. Из первой урны переложили в другую один шар, цвет которого неизвестен. После этого из другой урны берут один шар. Какова вероятность того, что этот шар белый? (дано указание)

Очень нужна ваша помощь.

@темы: Теория вероятностей

Comments

[Trotil]

3.10

Переложили шар с вероятностью p=k1/n1 белый и с вероятностью p=1-k1/n1 - черный.
Таким образом с вероятностью p=k1/n1 во второй урне k2+1 белых и n2-k2 черных и с вероятностью p=1-k1/n1 во второй урне k2 белых и n2-k2+1 черных

Рассмотриваем поставленный вопрос в каждом случае отдельно, а потом складываем две ситуации: Pрезульт= (k1/n1)*p1 + (1-k1/n1)*p2

[Trotil]

Вот в 3.7 существенно, превышает ли k1 m1 или n1 (аналогично для второй урны). В задаче нет никаких оговорок?

[Люцианна]

3.10

- понял, спасибо.

3.7

- никаких уточнений.

[Trotil]

3.7 решил.

Получилось n1*k1/(k1+k2)(m1+n1) + n2*k2/(m2+n2)(k1+k2)

Только думаю, можно ли упростить решение.

Пока подумай, как она получается, в смысле, что есть что в этой формуле и тогда отдельным элементам будет проще догадаться, как их получить.

[Trotil]

3.6 неприлично простая - просто применить формулу... Получится четыре слагаемых.

[Люцианна]

Пока подумай

- подумаю, обязательно.

3.6 неприлично простая

- посмотрю как вернусь -после других сделанных легче.
Я тут подумала насчет

2.5

- может там отношение площадей прямоугольного треугольника с катетами длиной 5, лежащими на координатных осях и фигуры, вырезанной в нем параболой из уравнения дискриминанта заданного уравнения?

[Trotil]

может там отношение площадей прямоугольного треугольника

Площади тут не причем, потому что число решек и орлов - величина дискретная, более того - вероятность точек не равномерная. Но тем неменее геометрически задачу решить можно ИМХО.

[Люцианна]

геометрически задачу решить

- скорее нужно, ибо ээто в соответствующей теме - значит оно решается геометрически.

[Trotil]

значит оно решается геометрически

Нее... Это значит, что ее можно решить геометрически, но это отнюдь не следует, что геометрически - это самый лучший способ

То, что можно решить геометрически - подтверждаю.

[Люцианна]

подтверждаю

- но как?... О_о
А 2.6?...

[Trotil]

А 2.6?...

А 2.6 здесь (VI)

но как?... О_о

Построить параболу и отметить все возможные исходы.

А лучше сначала решить полным перебором - случаев там немного. Так легче уловить идею геометрического решения, я так думаю...

[Люцианна]

А 2.6 здесь (VI)

- спасибо.
Т.е. в 3.10 ответ будет (k1/n1)*(k2+1)/n2 +(1 - k1/n1)*(k2/n2+1), я правильно поняла?

[Люцианна]

3.7 решил.

- вот тут не совсем поняла. Тут что ли предполагается что из первой урны взяли k1 именно белых (для первого слагаемого), из второй k2 именно белых (для второго слагаемого)?

[Trotil]

k2/n2+1

Это 1+k2/n2 или k2/(n2+1) ?

[Trotil]

Тут что ли предполагается что из первой урны взяли k1 именно белых (для первого слагаемого), из второй k2 именно белых (для второго слагаемого)?

Нет

Я взял такое:

H1 - "взятый шар первоначально был в первой урне"
H2 - "взятый шар первоначально был во второй урне"
A - "итоговый шар - белый"

[Люцианна]

1+k2/n2 или k2/(n2+1)

- второе. Я там еще забыла - там в первом слагаемом n2+1 в знаменателе.

[Люцианна]

А 3.6 я не въехала, извините... \

[Люцианна]

H1 - "взятый шар первоначально был в первой урне" H2 - "взятый шар первоначально был во второй урне"

- так он ведь мог быть и черным и белым... Непонятно \

[Люцианна]

2.5 - я посмотрела по вариантам, получилось всего 6 случаев: вероятность отсутствия у данного уравнения вещественных корней - 1/2, но как в геометрической интерпретации это выразить - все равно не поняла.

[Trotil]

Что же вам, про суть условной вероятности, сути формул полной вероятности и Байеса не рассказывали?

Я там еще забыла - там в первом слагаемом n2+1 в знаменателе.

Ну тогда все правильно.
Задача 3.6 решается очень похоже, как и 3.10.

Возьмем случай, когда перекладывается каждый раз белый. Какая вероятность такого случая? (P(ббб)?)

но как в геометрической интерпретации это выразить - все равно не поняла.

Нужно отложить:

Ось l вверх, ось k - направо.
Построить график l=k^2/2
Построить прямую l=5-k, отметить на ней целочисленные точки.
Можно даже обвести дугами пары точек, где вероятность одинаковая.

И тогда наглядно, геометрически будет видно, что для любой пары одна точка будет с одной стороны параболы, другая - с другой.

Вывод: вероятность, заданная в условии равна 1/2.

[Люцианна]

одна точка будет с одной стороны параболы, другая - с другой

- и в чем суть тогда что уравнение не имеет вещественных решений?

(P(ббб)?)

- не пойму... Их же по две обычно - а тут три... Не въезжаю...

сути формул

- это было давно и неправда - на 2 курсе.

[Trotil]

сути формул - это было давно и неправда - на 2 курсе.

Возьмите учебник и почитайте. Там немного.
Я сам его немного почитал, чтобы решить задачи.

Их же по две обычно - а тут три... Не въезжаю...

Да без разницы, сколько их там... Принцип тот же.

[Люцианна]

Trotil , кажется поняла... Спасибо.

[Гость]

Владелец дневника видит IP-адреса пользователей, оставивших комментарии!