[просто Молли]

задача из сегодняшнего егэ.
в11.

дан параллелограмм. проведена диагональ АС. на АВ произвольно взята точка Н. DH пересекает АС в точке Р. площадь треугольника АНР равна 2, площадь треугольника APD равна 7. найти площадь параллелограмма.

так и не смогла решить((

@темы: Планиметрия, ЕГЭ

Comments

[Adjirranirr]

Вот

рисунок:

рисунок:


Высота всего параллелограма равна h₁ + h₂.
1/2ah₁ = 9
h₁ = 18/a
h₁/h₂ = HP/PD (ой, точку P забыл. Ну ладно, думаю, понятно, где она).
При этом HP/PD = 2/7 (у треугольников одна высота - выражаем основания через площадь и высоту, получаем пропорцию)
h₁/h₂ = 2/7
7h₁ = 2h₂
h₂ = h₁/(2/7) = 7/2*18/a = 63a
h₁ = 18/a
h₁ + h₂ = 63/a + 18/a = 81a
S = 18*81 = ...

Где я ошибся? о_0Фсё, понял. Рисунок оставлю - мало ли, мб пригодицо.

[TigerCat]

Смотри, здесь было не так уж и сложно, рассмотрим треугольники AHP и CPD, они подобны по двум углам: <AHP = <CDP (накрест лежащие углы при параллельных сторонах AB и CD) и <APH = <CPD (противолежащие углы при скрещивающихся прямых). Известно, что площадь треугольника определяется, как полупроизведение двух его сторон на sin угла между ними, то есть можно записать

S(AHP) = (1/2) * HP * AP * sin(<APH),
S(APD) = (1/2) * AP * PD * sin(180 - <APH) = (1/2) * AP * PD * sin(<APH)

Разделив одно уравнение на другое получим:

HP / PD = 2 / 7 = k - это есть не что иное, как коэффициент подобия треугольников AHP и CPD.

Из соотношения сторон подобных треугольников:

AH / CD = HP / PD = AP / CP = k,

с другой стороны можно заметить, что соотношение площадей подобных треугольников равно:

S(AHP) / S(CDP) = (1/2) * HP * AP * sin(<APH) / ((1/2) * CP * PD * sin(<CPD)),

но поскольку <APH = <CPD, то

S(AHP) / S(CDP) = k^2, то есть S(CDP) = S(AHP) / k^2, то есть 2 * (7/2)^2 = 49/2,

откуда площадь параллелепипеда

S(ABCD) = 2 * (S(CDP) + S(APD)) = 63

.stupid blond 507?)) я тоже не решила

[Robot]

TigerCat
Хорошее решение
Есть еще один способ. Вместо этого куска

S(AHP) = (1/2) * HP * AP * sin(<APH), S(APD) = (1/2) * AP * PD * sin(180 - <APH) = (1/2) * AP * PD * sin(<APH)

Разделив одно уравнение на другое получим:

используем тот факт, что высоты треугольников АНР и АРD одинаковы, тогда их площади относятся как основания треугольников, то есть 2/7=НР/РD

[TigerCat]

Robot, отличная мысль!

[просто Молли]

TigerCat
спасибо большое!) буду знать)

[mpl]

.

[mpl]

Владелец дневника видит IP-адреса пользователей, оставивших комментарии!