Логарифмические уравнения и системы

[batka]

Сегодня новая тема была-логарифмические уравнения и системы.Задали несколько примерчиков.Вроде бы на уроке тема показалась легкой,а пришел домой не могу разобраться....Помогите сделать....пожалуйста...

запись создана: 22.01.2008 в 15:58

@темы: Логарифмические уравнения (неравенства)

Comments

[Хранитель печати]

При решении логарифмических уравнений накладываются ограничения на логарифмируемые выражения и основания логарифмов. В частности, логарифмируемое выражение должно быть строго положительным. Тогда, исходя из монотонности функции log(x), два логарифма по одинаковому основанию будут равны, если будут равны логарифмируемые выражения.
То есть в задании 1а имеем следующую систему:

Решая квадратное уравнение, найдём его корни. Проверим ОДЗ по первым двум неравенствам.
Если решите, можем сверить ответы.

[Хранитель печати]

1б. Что такое логарифм числа по некоторому основанию? Это та степень, в которую нужно возвести основание, чтобы получить логарифмируемое выражение.
То есть 1 - это логарифм 3 по основанию 3. И действительно, основание 3 необходимо возвести именно в первую степень, чтобы получить 3.
Можно записать 1 = log₃ 3
Воспользуемся следующим свойством логарифмов: разность логарифмов двух выражений равна логарифму дроби, в числителе которой стоит уменьшаемое выражение (то, что под знаком логарифма) , а в знаменателе - вычитаемое выражение (опять же то, что под знаком логарифма).
Имеем:

Далее решаем аналогично первому

[Хранитель печати]

1в. В каком случае дробь равна нулю? В том случае, если числитель равен нулю, а знаменатель нулю не равен.
Поэтому исходное равенство равносильно системе:

По определению,

Решая полученные уравнения с учётом О.Д.З., найдём искомые значения x.

[Хранитель печати]

1г. В комментарии к заданию 1а я отмечал, что на основание логарифма и логарифмируемое выражение накладывается ряд ограничений. Поскольку неизвестная в данном примере стоит в основании логарифма, на неё накладываются такие ограничения: основание логарифма всегда положительно и не равно единице.
Получим, что исходное уравнение равносильно системе:

[Хранитель печати]

2.
Полученное выражение решаем методом замены t = log_x y , а значения переменных определим уже после обратной замены с помощью второго уравнения системы

[batka]

В 1а)корни получились 4;1 а дальше куды подставить?
в 1б)это неравенство как-то не решается...
в 1в)ответ 0,5 получается?
в 1г)корни -1;0,5 а дальше как?
2)корни 1;1.3 дальше как?

[Хранитель печати]

batka
1а. Корни вы неверно посчитали.
Проверяйте, удовлетворяют ли корни о.д.з., то есть продолжают ли выполняться неравенства при подстановке корней в них?

1б. Ну как не решается? Методом пропорций! Или приводите к единому знаменателю!

1в. У меня опечатка там, (2x²+x) должно быть - из условия. При решении квадратного уравнения получите 2 корня: -1 и 0,5. По о.д.з. (второе уравнение) x как раз не может равняться 0.5 Отсюда ответ -1

1г. А что дальше? Решить уравнение значит найти все корни!!

2 - делайте обратную замену, потом подставляйте второе уравнение системы

[batka]

В 1а) да я не правильно посчитал там получится 2;3 это окончательный ответ?
1б)решил)х=2;5\3 что затем?
1в)--------У меня опечатка там, (2x²+x) должно быть - из условия-----
И что это значит?какое там получится квадратное уравнение?!
г)Найти все корни?какие еще там корни могут быть?
2)логху=1 и лгху=1\3 а как тут х выразить???

[If-you-like]

.

[batka]

Ну объясните мне плиииз как 2 номер доделать....
Сделал обратную замену логху=1 и лгху=1\3 тока как тут х выразить??

[If-you-like]

Cмотри, logxy не может равняться 1,тк в этом случае получается что y=x, что не верно. Значит подходит ответ logxy=1/3 . Отсюда получаем, что Х в cтепени 1/3= y, подставляем это во вторую систему x+y=10, получается что X в степени 1/3 +Х=10. Методом подбора получаем х=8, следовательно у=2

[batka]

Все спасибо большое.

[mpl]

.

[mpl]

Владелец дневника видит IP-адреса пользователей, оставивших комментарии!