[котятки]

y=x^(2/3) - (x^2+1)^(1/3)
исследовать и посторить график.
1. Область определения =R
2. Нули и знаки: нет нулей, верно?3.
поведение при стремлении к границам области опр.
при х-> + и - беск
y->0 верно?

предел, при х->0+ и - =-1
но не понимаю, зачем его считаю, по ответам это будет минимум, но мне не очевидно, почему?

еще получил горизонтальную асимптоту y=0


3.экстремумов и нулей не нашел, при приравнивании первой производной 0, получил, что x^2=-1/2
проверял на выпуклость второй производной, вышли малоприятные уравнения неприятных степеней.
обсчитался?


проверьте пожалуйста.

@темы: Исследование функций

Comments

[Robot]

Тут важно х в степени 2/3 (дробно рациональная степень) или корень третьей степени из х в квадрате
Дело в том, что в школе степень с дробно-рациональным показателем определяется только для положительных х, в вузе (я посмотрела Фихтенгольца) отождествляется х в степени 2/3 и корень третьей степени из х в квадрате

[Robot]

при х-> + и - беск y->0
Если считать, что функция определена на R, то она четна, (x^2+1)^3 растет гораздо быстрее x^(2/3), поэтому у стремится к - бесконечности
Если считать, что она определена на (0, + беск), то при х->0 y->-1, при х-> +беск у->- беск
-1 минимумом не будет (и максимумом тоже)
Вот график для случая школьной интерпретации

Если считать, что функция определена на R то график симметричен отн оси ОУ

Вообще интересная задача

[Robot]

Правильно ли записано?

[котятки]

ай я дурак!
y=x^(2/3) - (x^2+1)^1/3

опечатся в условии. вот верное.

далее, я в вузе, мы отождествляем тоже. а изначально корень третьей степени.

[Robot]

Вот-вот, при том условии, что было первоначально, был вообще мрак

[Robot]

Пункты 1 и 2 тогда верно
Предел при х->0 считать не надо. Функция там определена, значение f(0)=-1 - точка пересечения с осью
Так как (x^2+1)^(1/3)>x^(2/3) при любом х из о.о., то y<0 при любом х из о.о.
горизонтальная асимптота найдена верно

[Robot]

нет нулей, верно?3.
поведение при стремлении к границам области опр.
при х-> + и - беск
y->0 верно?

Все верно

[котятки]

а как быть с выпуклостью?

[Robot]

Производная в ноль не обращается и числитель ее всегда положителен, так как
(x^2+1)^2>x^4
Но критическими точками, в которых может меняться знак производной являяются точки в которых знаменатель обращается в 0, а там стоит x^(1/3)
При x<0 производная отрицательна, при x>0 положительна

[Robot]

Первая такая?

[Robot]

lДа, со второй производной ужасно
Судя по графику она должна быть везде выпукла, то есть вторая производная должна быть меньше нуля
Вот что выдает маткад

[Robot]

Я по-моему вбила неправильно, сейчас переделаю

[Robot]

Вот теперь с моими вычислениями совпадает

[котятки]

да, путем мучений это можно привести
к ур-ию
z^(5/3)+3z-4=0
где z=a/b^2
b=x
a=x^2+1

но тут я сдаюсь, запутался и мог обсчитаться.

в ответе ф-ия вогнута вниз, кстати


и оффтопом.
считал предеа два.
один

(1+x^2)e^(-x^2) при х к беск.

на первом шаге взял лопиталя, получил e^(-x^2)
дальше запутался, второй замечательный пробовал использовать, вводя переменную, но неопределнность не исчезает.(


и еще загоняюсь, икс к беск.

arcsin(2x/(1+x^2))-2x=-беск?

[котятки]

первая такая

[котятки]

ой, действительно. знаменатель зря выкинул(

[Robot]

Половинка чертежа такая - на ней выпукла

[Robot]

на первом шаге взял лопиталя, получил e^(-x^2)

То есть 1/e^(x^2), ну и при х, стремящемся к беконечности, это стремится к 0 (e>1)

[Robot]

arcsin(2x/(1+x^2))-2x=-беск?

Да, вроде
Под знаком арксинуса величина стремится к 0, сам он тогда тоже и если х стремится к + беск, то все выражение к - беск (а если х к - беск, то выражение к +беск)

[котятки]

Robot
Все, теперь сошлось с моим графиком, спасибо.
а нет иных методов узнать вогнутость кроме 2 производной?
вроде можно брать хорду у 1ой производной и смотреть по ней, но как это сделать практически-ума не приложу

Robot
блин, я с чего-то взял, что е в бесконечности, это неопределенность.спасибо.

Robot
спасибо)

[Robot]

эфемерные улыбки
Пожалуйста
Нет, не знаю других способов(((

[mpl]

Владелец дневника видит IP-адреса пользователей, оставивших комментарии!