[Паломник Оптимизма!]

Аж стыдно смещать с первой строчки столь офицальное сообщение без подписей и печатей, но...

Мне нужно решить три уравнения, просто уравнения, это часть задания по диффурам.

1) а^3 + 3*a^2 - 4 = 0
2) a^4 + 6*a^3 + 12*a^2 + 8*a = 0
3) a^4 + 18*a^2 +81 = 0

Я вообще, что-то плохо представляю как эти примеры решать. Третий я решил, но нашел только два корня 3i и -3i, но их же четыре должно быть.
А во втором, помню что надо было каким-нибудь хитрым образом сделать так чтобы получилось произведение. Но что-то никаких хитрых способов в голову не приходит.
Помогите пжалст, срок неограничен.

И еще, обьясните как из е^i можно получить косинусы и синусы? Препода я что-то в упор не понял, а по учебникам покапался, не нашел.

@темы: Математический анализ, Дифференциальные уравнения, Рациональные уравнения (неравенства)

Comments

1. а^3 + 3*a^2 - 4 = 0
легко видеть, что 1 - коронь. Делим исходный многочлен на а-1, получаем a^2+4a+4
(a-1)(a+2)^2 = 0

2. а*(a^3 + 6*a^2 + 12*a + 8) = 0
легко угадывается корень а = -2. Делим исходный многочлен на а+2, получаем a^2+4a+4
a(a+2)^3 = 0, ну да... можно еще было заметить, что a^3 + 6*a^2 + 12*a + 8 - это куб суммы *ROFL*

3. a^4 + 18*a^2 +81 = 0
эм.... тут же вроде уже чисто квадрат суммы
(a^2 + 9)^2 = 0
a = +-3i, оба корня двукратно вырождены

[Паломник Оптимизма!]

В первом получим а = 1, а = -2, а третий корень какой? Тоже -2 ?

Во втором а = 0, а = -2, а два оставшихся?

С третьим понял.

да, в первом -2 - корень кратности 2
во втором, -2 - корень кратности 3

[Паломник Оптимизма!]

Ок, тогда вопрос каким образом вы это определили? Почему там к примеру не -icos(п/2)?

exp(ix) = cosx + i*sinx
sinx = (exp(ix) - exp(-ix))/2i
cosx = (exp(ix) + exp(-ix))/2

[Robot]

Паломник Оптимизма

офицальное сообщение без подписей и печатей, но...

Подписи там есть, присмотрись)

Почему там к примеру не -icos(п/2)?

Какой-то непонятный вопрос

a(a+2)^3 = 0
Это ведь раскладывается так
а(а+2)(а+2)(а+2)=0
(а+2) входит множителем 3 раза, поэтому говорят, что -2 корень кратности 3

Алгебраическое уравнение степени к имеет над полем комплексных чисел ровно к корней, если считать каждый корень столько раз, какова его кратность

[Паломник Оптимизма!]

Robot Просто я с комплексными как-то не очень, и помню что мы как-то решали такое уравнение х^3=8 получилось ответ 2 и два вещественных что-то там косинусы\синусы

[Robot]

не вещественных, а наоборот комплексных мнимых. И их можно записать как в алгебраической, так и в тригонометрической форме
х^3-8=0 разность кубов
(x-2)(x^2+2х+4)=0
x2=-1+sqrt(3)*i
x3=-1-sqrt(3)*i
Это алгебраическая форма
А можно и в тригонометрической
x2=2(cos(2pi/3)+isin(2pi/3))
x3=2(cos(4pi/3)+isin(4pi/3))

[Паломник Оптимизма!]

Короче я нуб.

[mpl]

Владелец дневника видит IP-адреса пользователей, оставивших комментарии!