геометрия. окружность

[.Lean]

Потеряла тетрадь со свойствами окружностей, а времени искать теоремы в инете совершенно нет, очень прошу у вас помощи! если можно, то до 7.00. завтрашнего дня
1.
Две окружности имеют единственную общую точку М. Через эту точку проведены две секущие, пересекающие одну окружность в точках А и А1, а другую - в точках В и В1. Докажите, что АА1 параллельно ВВ1.
2.
Внутри угла АВС равностороннего треугольника АВС взята точка М так, что угол ВМС = 30, угол ВМА=17. Найдите углы ВАМ и ВСМ.

@темы: Планиметрия

Comments

[Гость]

1) Чтобы убедиться в параллельности отрезков АА1 и ВВ1, достаточно показать, что АА1 = k ВВ1, где k — некоторое число.
Углы при вершине М равны как вертикальные. Углы АА1М и ВВ1М являются вписанными в соответствующие окружности.
Проведём через точку М касательную к двум окружностям, предварительно обозначив центр первой окружности через О1, а второй — через О2. Вспомним, что угол между хордой и касательной равен половине дуги, заключённой внутри него, то есть угол АО1М равен углу ВО1М, а углы А1О1М и В1О1М равны между собой.
Заметим, что вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается. Значит все три угла треугольника АА1М равны трём углам треугольника ВВ1М, то есть эти треугольники подобны. Следовательно, АА1 = АМ + МА1 = - k1 ВМ - k1 МВ1 = - k1 ВВ1 = k ВВ1, что и требовалось доказать.

2) По свойству углов четырёхугольника сумма углов ВАМ и ВСМ равна 253°, что больше 120°. Значит точки В и М лежат в разных полуплоскостях, которые образует прямая АС.
По теореме синусов sin 30° / |AB| = sin BCM / |BM| и sin 17° / |AB| = sin BAM / |BM|, то есть sin 30° sin BAM = sin 17° sin BCM.
В данном случае необходимо решить систему:

BAM + BCM = 253°

sin 30° sin BAM = sin 17° sin BCM

.

[.Lean]

Спасибо огромное!

[mpl]

Владелец дневника видит IP-адреса пользователей, оставивших комментарии!