понедельник, 08 октября 2007
Так сложилось, что никогда не изучал геометрию. В школе-то она была, но формально. А теперь приходится начинать все с азов. Но зарываюсь уже на них. У меня очень простой вопрос, возникший в процессе рассмотрения примеров; настолько простой, что аналогичной задачи я не нашел ни в одном сборнике.
Собственно, задача...Задача.
Даны четыре точки O, A, B, C. Точка O лежит между точками A и C, и точка O лежит между точками A и B.
а) Лежат ли они на одной прямой?
б) Лежат ли точки B и C на одном луче с началом в точке O? Изобразите возможное расположение данных точек на плоскости.
Решение.
Из условия ясно, что O принадлежит [A, B], O принадлежит [A, C]. Отсюда следует, что отрезки AB и AC имеют две общие точки A и O. По аксиоме 2.2 существует единственная прямая, содержащая точки A и O, а следовательно, и отрезки AB и CA. Таким образом, все четыре точки лежат на одной прямой. По условию точки O и C лежат по одну сторону от точки A. По теореме 1.2 точки B и C лежат по одну сторону от точки A.
Рассмотрим три точки O, B, C. Предположим, что точка O лежит между точками B и C. Тогда BO + OC = BC (*) и получим 2·AO + OB + OC = AC + AB...
И так далее, еще половина в том же духе. Я запоролся уже на понимании того, с какого потолка взято последнее выражение (2·AO + OB + OC = AC + AB). Какая логика приводит к его составлению? Как оно появилось?
@темы:
Планиметрия
-
-
08.10.2007 в 20:50-
-
08.10.2007 в 21:20Только не совсем понимаю: Ведь они сначала предположили, что точка О лежит между точками В и С, а для составления выражения используется другое предположение... Это почему так?
PS. Извиняюсь, что привел только отрывок.
Задача полностью:
Даны четыре точки O, A, B, C. Точка O лежит между точками A и C, и точка O лежит между точками A и B.
а) Лежат ли они на одной прямой?
б) Лежат ли точки B и C на одном луче с началом в точке O? Изобразите возможное расположение данных точек на плоскости.
Решение.
Из условия ясно, что O принадлежит [A, B], O принадлежит [A, C]. Отсюда следует, что отрезки AB и AC имеют две общие точки A и O. По аксиоме 2.2 существует единственная прямая, содержащая точки A и O, а следовательно, и отрезки AB и CA. Таким образом, все четыре точки лежат на одной прямой. По условию точки O и C лежат по одну сторону от точки A. По теореме 1.2 точки B и C лежат по одну сторону от точки A.
Рассмотрим три точки O, B, C. Предположим, что точка O лежит между точками B и C. Тогда BO + OC = BC (*) и получим 2·AO + OB + OC = AC + AB. C учетом (*) и того, что AC + AB = CA + AB = CB = BC, имеем 2·AO + BC = BC или AO = 0. Это противоречит условию. Следовательно, точки B и C лежат по одну сторону от точки O. Отсюда следует, что точки B и C лежат на одном луче с началом в точке O.
Чтобы изобразить расположение точек, построим произвольную прямую a и отметим на ней точки A и O. B соответствии с условием построим точку B на луче, дополняющем луч OA. На основании доказанного точка C лежит на луче OB либо по одну, либо по разные стороны от точки B с точкой O.
-
-
08.10.2007 в 21:40Т.е. они предположили обратное, и пришли к противоречию.
Предположим, что точка O лежит между точками B и C. Тогда BO + OC = BC (*) и получим 2·AO + OB + OC = AC + AB.
Вот это немножко некорректно написано. "и получим" надо было заменить на что-то более подходящее. Скажем, на "с другой стороны". Потому что это равенство мы не получаем из предположения. Оно выполняется по самому условию задачи.
А в остальном всё правильно.
Я нарисовала одну из двух возможных картинок.
У вас на рисунке - обе возможности: или В ближе к А или С ближе к А (ну, и соответственно, можно всё это зеркально отразить).
Только так могут располагаться точки, чтобы выполнилось условие задачи.
-
-
08.10.2007 в 21:52-
-
01.03.2013 в 15:01