[Almazik]

Нам забыли выжать задачи на позопрошлой неделе и на надо делать 2х заданий, ну как всегда до 23.00 или позже, но сегодня. Заранее спаибо!

1)В стране 20 городов, каждые два которых соединены дорогой. Сколько дорог в этой стране?

2)Какое точное время между 6 и 7 часами показывают часы в тот момент, когда их положения совпадает(стрелок)?

3)Вася перемножил квадрат и куб некоторого числа (не 1 и не 0). Мог ли он поучить шестую степень какого либо числа?

_________________________________________________________________________________________________________________________________

1)Число 19 представить в виде разности кубов натуральных чисел. доказать, что такое разложение единственно.

2)Какое наибольшее количество точек можно расположить в квадрате со стороной 3 так, чтобы все расстояния между этими точками былине меньше 1.5 ("В квадрате", в данном, случае означает "внутри квадрата и на его границах")

3)На доске написаны подрят 15 чисел. МОжет ли так оказаться, что сумма любых трех чисел стоящих рядом окажется положительной, а четырех стоящих рядом отрицательна?

@темы: Олимпиадные задачи, Текстовые задачи

Comments

[Renaissance_Art]

3)да, мог:

пример 729*729=531441=9^6=27^2 * 9^3



1)19=27-8=3*3*3-2*2*2

19=a^3-b^3=(a-b)*(a^2+a*b+b^2)

значит, число 19, которое является простым, мы можем представить в виде произведения (a-b) и (a^2+a*b+b^2). однако ( по определению простого числа ) множителями могут быть только 1 и 19. значит,

либо

(a^2+a*b+b^2)=19

(a-b)=1, и в этом случае 3 и 2



либо наоборот ( там решения в натур.числах у системы нет )



3)не может вроде, насколько понимаю)

выпишем первые 4числа a,b,c,d

a+b+c>0

b+c+d>0

a+b+c+d<0



a>-b-c

-a-d>b+c

складываем, получаем -d>0, значит, число отрицательное.



с другой стороны, d>-b-c

-a-d>b+c

складываем, получаем -a>0, значит, число отрицательное.

при этом b+c больше |a| и больше |d|.

теперь приписываем 5ое число е, и все те же операции повторяем для b,c,d,e. получаем противоречие по идее))

[Renaissance_Art]

1)19/2+18/2+..+2/2+1/2=(9*20+10)/2=95дорог.



2)9точек вроде

выбираем 2макс.удаленные точки в квадрате ( 2вершины, например, А и С ) и раскидываем все остальные от них.

[Дилетант]

Renaissance_Art а почему ты с дорогами так посчитал?



У меня получилось без деления пополам:



19+18+17+...+1=175

[Robot]

А я рассуждала так: от каждого города ведет дорога каждому из оставшихся 19 городов, считая так мы имеем 19*20 соединений, но при этом каждая дорога считается дважды (как ведущая сначала от первого города ко второму, а потом наоборот). Так что 19*20/2= 190

Кроме того можно считать комбинаторны образом : число дорог равно числу сочетаний из 20 по 2

Или я что-то не понимаю? *жалобно*

[Dieter Zerium]

Robot

Мне тоже так кажется

Ещё в школе такую задачу решали, только там было с рукопожатиями)

[Дилетант]

Robot, Dieter Zerium

Я четыре года преподавала комбинаторику ))))))))) Но с вами и сама запуталась.

Давайте посмотрим:

Из первого города во все остальные ведет 19 дорог.

И второго — тоже 19, но дорога к первому городу уже посчитана, поэтому остается 18.

Из 19 дорог третьего города уже посчитаны две: к первому городу и ко второму, т.е. соответственно нас интересуют 17 из них.

И т.д.



А-а-а-а!!! Это я сложила неправильно!!! Пардон - в арифметике не сильна))))



19+18+17+...+1=190



Так что, все мы правы )))))))))))))))))

[Robot]

Dieter Zerium

Точно - я и опиралась на задание с рукопожатиями!

[Dieter Zerium]

Дилетант

))))))





3) Насколько я понял, мы возводим в квадрат и куб одно и тоже число

Для положительных чисел имеем:





Т.е. b - это пятая степень какого-то числа (если мы решаем задачу в целых числах)

Например, 2

Тогда a=64, b=32

[Renaissance_Art]

да млин))

конечно тут С 20 по 2, случайно на 2 дважды разделил)) вот и получил вместо 380 пополам 380 пополам пополам)

[Дилетант]

Renaissance_Art ))))))))))))))))

[Almazik]

В 1) не все города соедены дорогами с каждым а к каждому городу ведет только две дороги. из других городов.

[Дилетант]

Almazik у тебя в условии написано совсем не так!

каждые два которых соединены дорогой.

Что значит "соединены дорогой"? ПРЯМОЙ дорогой? Или вообще: в графе есть путь из города А в город В через любое количество промежуточных вершин? Это СОВСЕМ другая задача!

Тогда просто их можно закольцевать, и вот пожалуйста: 20 дорог. По кольцу можно добраться куда надо. (К каждому городу именно ровно две дороги).

Но такое условие вряд ли возможно.

[Dieter Zerium]

Almazik

В стране 20 городов, каждые два которых соединены дорогой. Сколько дорог в этой стране?

Обычно в таких задачах "каждый" является синонимом "любой"...



Вот если принять условие, что к каждому городу ведут только две дороги от каких-либо двух других городов, то всего дорог будет как будто 20...

Или теперь я чего-то не понимаю?

[l Shift->stop->end l]

Almazik

По той формулировке, что у тебя была в задании, каждый соединен с каждым

Каждые два соединены . Представь, ты взял любые два А и В, например, и они соединены дорогой. И так с каждой парой.

[Renaissance_Art]

брильянтик)

возьми лист а4 ( или карту рф - оно полезнее, еще географию поботаешь ), проведи все линии в соответствии с условиями задачи - и посчитай их количество)) потом сравнишь с моим ответом.

[Almazik]

Ну я понял так

[l Shift->stop->end l]

Almazik

Ты неправильно понял условие

или неправильно сказал его нам

[Дилетант]

Almazik Ну тогда и ответ готов ))) 20.

Но по-моему ты понял неправильно )))

[Almazik]

к примеру: 5 городов из каждого выходит только 2 дороги тут тоже самое только 20 городов из каждого по 2 дороги выходит.

[Дилетант]

Almazik )))) мы с тобой уже как-то спорили про термин "соседние" — так ни до чего и не договорились )))

Ты прочитал, о чем тебе написали? С чего ты взял, что дороги только две? В условии этого нету...

[Almazik]

Ну ладно а со остальными помогите я уже спать ложусь а натинул только на 3.

[Renaissance_Art]

2 Almazik

вот последнего комментария не понял вообще



во-первых, натянул )

во-вторых, скорее, "натянули" )

во-третьих, если что, по секрету сообщу, что в данном треде решено аж 5 задач из предложенных 6, чего хватает на 5баллов даже на вступ.экзаменах в мгу.



что касается минутной и часовой стрелок, то берешь домашние настенные часы и начинаешь крутить тамошние стрелки.

если не поможет, то вот:

обе стрелки прошли одинаковое число делений от 0часов. ( в данном случае 6 и идут к 7 ). вводим уравнение x/5 - x/60 = m, где m - целое число от 0 до 11 ( в нашем случае 6 ). получаем, что х=360/11, примерно 32минуты 43секунды.

[Almazik]

я запутался в ваших задачах поэтому насчитал только 3 а надо решить 10. 4 решил 7 всего я посчитал а это 3, вот я посчитал. я так решил зайти на всякий случай посмотреть. М еще про гонщиков не решено.

[Renaissance_Art]

скорее, не в ваших, а в твоих))

сюда выложил 6штук, щас все 6решены...распутаться будет нетрудно))

[Dieter Zerium]

Алмазный мой, бриллиантовый):

Участники сообщества решили тебе все твои задачи и если ты не можешь разораться, сколько их решено, как же ты поймёшь их решение?



И, наверное, как-то похвалить, поблагодарить решателей тоже стоит, согласен?





1) от каждого города ведет дорога каждому из оставшихся 19 городов, считая так мы имеем 19*20 соединений, но при этом каждая дорога считается дважды (как ведущая сначала от первого города ко второму, а потом наоборот). Так что 19*20/2= 190





2) обе стрелки прошли одинаковое число делений от 0часов. ( в данном случае 6 и идут к 7 ). вводим уравнение x/5 - x/60 = m, где m - целое число от 0 до 11 ( в нашем случае 6 ). получаем, что х=360/11, примерно 32 минуты 43 секунды.





3)Насколько я понял, мы возводим в квадрат и куб одно и тоже число

Для положительных чисел имеем:



Т.е. b - это пятая степень какого-то числа (если мы решаем задачу в целых числах)

Например, 2

Тогда a=64, b=32



1) 1)19=27-8=3*3*3-2*2*2

19=a^3-b^3=(a-b)*(a^2+a*b+b^2)

значит, число 19, которое является простым, мы можем представить в виде произведения (a-b) и (a^2+a*b+b^2). однако ( по определению простого числа ) множителями могут быть только 1 и 19. значит,

либо

(a^2+a*b+b^2)=19

(a-b)=1, и в этом случае 3 и 2



либо наоборот ( там решения в натур.числах у системы нет )





2) 9точек вроде

выбираем 2макс.удаленные точки в квадрате ( 2вершины, например, А и С ) и раскидываем все остальные от них.





3) не может вроде, насколько понимаю)

выпишем первые 4числа a,b,c,d

a+b+c>0

b+c+d>0

a+b+c+d<0



a>-b-c

-a-d>b+c

складываем, получаем -d>0, значит, число отрицательное.



с другой стороны, d>-b-c

-a-d>b+c

складываем, получаем -a>0, значит, число отрицательное.

при этом b+c больше |a| и больше |d|.

теперь приписываем 5ое число е, и все те же операции повторяем для b,c,d,e. получаем противоречие по идее))





Где там твоя задача про гонщиков?

[Renaissance_Art]

нет, насчет квадрата и куба скорее мой вариант вернее:



"3)да, мог:

пример 729*729=531441=9^6=27^2 * 9^3"

[Dieter Zerium]

Renaissance_Art

прости, но я так понимаю, что квадрат и куб должны быть одного числа...

или?

[Robot]

Алмазный уже спит давно))

[Dieter Zerium]

Robot

а решатели нет... вот так всегда

[Robot]

Dieter Zerium