No one I think is in my tree. I mean it must be high or low... (c)John Lennon
Мды... Только-только пришла с городской олимпиады по математике (питерской, в смысле)...
Ну и, как всегда, имеется куча заданий, с которыми очень бы хотелось разобраться.
Если кто-нибудь поможет - спасибо большое )))
Ах да, задания 11 класса.
Вот.
Помогите пожалуйста, а то мне теперь эти задачи покоя не дают, особенно первая... %)))
Ну и, как всегда, имеется куча заданий, с которыми очень бы хотелось разобраться.
Если кто-нибудь поможет - спасибо большое )))
Ах да, задания 11 класса.
Вот.
Помогите пожалуйста, а то мне теперь эти задачи покоя не дают, особенно первая... %)))
ответ 121 пришел в голову автоматом, а позже что-то вроде такого решения:
число оканчивается либо на 1, либо на 2. на 2 квадрат числа натурального оканчиваться не может, значит, на 1.
далее, если квадрат ( то есть тоже натуральное число ) оканчивается на 11, то, значит, корень из этого числа оканчивается либо на 9, либо на 1. получается
( а+1 )*( а+1 )=...11, где а - число меньше искомого на 1.
тогда а*а + 2*а + 1 = ...11, значит, а*а + 2*а = ...10, где а - число, делящееся на 10; а*( а+2 ) = ... 10. если а/10 - четное число, то противоречие ( в правой части после деления на 10 остается нечетное число, в левой, очевидно, четное ). если а/10 - число нечетное, то получается вот что:
некое число, делящееся на 10, причем а/10 оканчивается 1,3,5,7,9, при умножении на самое себя, увеличенное на 2, дается некое число оканчивающееся 10.
..10*..12=..20, ..30*..32=..60, ..50*..52=..00, ..70*..72=..40, ..90*..92=..80.
противоречие!
значит, тот самый квадрат оканчивается не на 11, а на 21.
поехали перебирать числа: 121, 1121, 11121...стопъ! уже самое первое подходит под определение квадрата, заодно оно же делится на 11.
вот такие какие-то мысли, может, и некорретно ( решал чисто в процессе разглядывания монитора ), но вроде правильно.
поехали перебирать числа: 121, 1121, 11121...стопъ! уже самое первое подходит под определение квадрата, заодно оно же делится на 11.
Я вот тут что-то не поняла... Я, конечно, туплю, но там в таком случае надо доказать, что других квадратов вида 111...121 нет... Может, это и очевидно (а очевидно ли?), но я пока доказывала чуть мозги себе не сломала, причем так и не доказала
А вообще, пасиба )
корень из 1..121 при четном числе 1 перед 2 имеет вид 333...33,3...
при нечетном числе там др.фигня, чуть позже распишу.
an...a2a1 делится на 11, если а1-а2+a3+...((-1)^(n-1))an делится на 11.
например, 143 делится на 11, так как 3-4+1 делится на 11
Renaissance_Art правильно сказал, что квадрат целого числа не может заканчиваться на 2. Поэтому последняя цифра 1. Далее доказываем, что место 2 второе справа, то есть число представляет собой 11...1121. (я, например, просто возводила в квадрат числа 11, 21, 31..91, 19, 29, ..99, так как последние две цифры искомого числа определяются именно этим. Оказывается, что либо появляется ненужная цифра, либо 2 стоит на втором месте справа)
Итак, число выглядит 11...1121. Если перед двойкой стоит нечетное число единиц, например, 2к+1, то общее число цифр равно 2к+3 и тогда последняя 1 в знакопеременной сумме берется со знаком+ , а значит, сама знакопеременная сумма будет равна 0: 1-1+1-1+..+1-2+1=0. Значит, наше чиcло делится по признаку делимости на 11.
Пусть теперь перед 2 четное число единиц
111111..1121. Если делить на 11 с остатком , то в частном будет получаться число вида
101010..101 и в остатке 10. Докажем, что квадраты целых чисел при делении на 11 давать в остатке 10 не могут.
Пусть искомое число х=с^2
Для с возможны следующие случаи
1) с=11к, тогда х делится на 11 без остатка
2)с=11к+1. Тогда с^2=121k^2+22k+1 х дает в остатке 1
3)с=11к+2 x дает в остатке 4
ну и т.д.
Таким образом квадрат натурального числа не может быть записан в виде числа 1111..1121 с четным числом единиц перед 2
На дороги никогда не умела решать.
А в геометрической условие правильно записано?
а прикольно с нечетным числом единиц вы разобрались)) у меня намного геморнее получилось))
я просто че-та так подумал, что можно доказать единственность удовлетворяющего условиям числа 121.)
что касается геометрии, вчера что-то нарисовал так, решать не стал, но показалось несложным: как понял, там надо просто показать, что в треугольнике при основании углы равные, эти углы представить как разность углов в прилегающих мн-никах и наверняка
Там действительно что-то с углами-дугами... Но провозившись с этим всем минут 40 и перерисовав это все раз 7, я все равно ни к чему хорошему не пришла ) Вот такая я тупая... )))