Трапеция

[Холщовый мешок]

Дана равнобедренная трапеция ABCD, ее основания - AB и CD, диагонали пересекаются в точке X.
Середину ребра AD обозначим через M.
Прямая, параллельная AB, проходящая через X, пересекает ребро AD в точке Y.
Докажите, что точки B, C, M, Y лежат на одной окружности.

Latvijas 73. matemātikas olimpiādes

@темы: Головоломки и занимательные задачи

Comments

[All_ex]

не уменьшая общности будем считать, что АВ=а > CD=b...
пусть МN -средняя линия, а Z - пересечение прямой XY со стороной CD...
известно, что средняя линия - это среднее арифметическое оснований, а YZ - среднее гармоническое...
используя это легко проверяем, что трапеции AMNB и YDCZ подобны... следовательно, углы MBA и CYZ равны... откуда следует вписанность указанного в условии четырёхугольника ...