Радиус

[wpoms.]

На рисунке изображен квадрат $ABCD,$ длина стороны которого равна 1. Точки $E,$ $F,$ $G$ и $H$ выбраны так, что треугольники $AFB,$ $BGC,$ $CHD$ и $DEA$ являются прямоугольными. Известно, что радиусы окружностей, вписанных в эти треугольники и в квадрат $EFGH,$ равны $R.$ Найдите $R.$

Comments

[Sticker_]

Можно показать, что если окружность вписана в прямой угол, то расстояния от вершины угла до точек касания равны радиусу этой окружности. Данные прямоугольные треугольники равны по гипотенузе и острому углу. Пусть M - точка касания окружности, вписанной в треугольник ABF, со стороной AB, BM=x. Тогда BF=x+R, AB=2x+2R. Отсюда следует, что угол FAB равен 30 градусам, а угол FBA равен 60 градусам. Значит, AF=BF*sqrt(3), т.е. x+3R=(x+R)*sqrt(3), но по условию задачи AB=1 ==> 2x+2R=1 <==> x+R=1/2, поэтому x+3R=(x+R)*sqrt(3) <==> 1/2+2R=sqrt(3)/2 <==> R=(sqrt(3)-1)/4.