История

[domzorgisto]

Очередная реконструкция облика Ивана палка галка Грозного.
На этот раз с помощью нейросети.

В этом году проходят юбилейные олимпиады в Болгарии, Германии, Чехословакии. Понятно, что переводить имеет смысл немецкую олимпиаду. Присоединяйтесь!

Задания третьего (земельного) этапа олимпиады.

11-12 классы.

601231 Man ermittle alle Paare $(x, y)$ reeller Zahlen, die das Gleichungssystem \[ \frac{x}{y} + \frac{y}{x} = \frac{25}{12},\ (1) \qquad x^2 - y^2 = 7\ (2) \] erfüllen.

601232 Gegeben ist ein Parallelogramm $ABCD$ mit dem Flächeninhalt $I.$ Über den Seiten werden nach außen Quadrate konstruiert. Die Mittelpunkte dieser vier Quadrate bilden ein Quadrat mit dem Flächeninhalt $Q_a.$ Weiterhin werden über den Seiten des Parallelogramms $ABCD$ nach innen Quadrate konstruiert. Die Mittelpunkte dieser vier Quadrate bilden ebenfalls ein Quadrat. Sein Flächeninhalt sei $Q_i.$

Man beweise, dass $Q_a - Q_i = 2I$ gilt.

601233 Für eine positive ganze Zahl $n$ werden quadratische Kuchen betrachtet, die in $n \times n$ quadratische Stücke geschnitten sind, wobei sich auf jedem der Stücke höchstens eine Erdbeere befindet. Ein solcher Kuchen heiße lecker, falls beide Diagonalen vollständig belegt sind und in jeder Zeile und jeder Spalte jeweils eine ungerade Anzahl von Erdbeeren liegt.

Man bestimme alle positiven ganzen Zahlen $n,$ für die es einen leckeren Kuchen mit genau
$\lceil n^2/2 \rceil$ Erdbeeren gibt.

Hinweis: Für eine reelle Zahl $x$ bezeichnet $\lceil x \rceil$ die kleinste ganze Zahl $m,$ die $m \ge x$ erfüllt.

601234 Die 60. Mathematik-Olympiade findet in den Jahren 2020 und 2021 statt. Emilia fällt bei der Vorbereitung auf, dass das Produkt $20\cdot21$ der beiden aus Zehner- und Einerziffer gebildeten zweistellig abgekürzten Jahreszahlen 20 und 21 durch die Jahrgangsnummer 60 teilbar ist, während im kommenden Jahr 61 kein Teiler von $21\cdot22$ ist. Sie fragt sich nun, ob eine derartige Teilbarkeit häufiger vorkommt.

Man bestimme alle Jahrgänge von der 40. Mathematik-Olympiade in den Jahren 2000 und 2001 bis zur 138. Mathematik-Olympiade in den Jahren 2098 und 2099, für die das Produkt der beiden zweistellig abgekürzten Jahreszahlen durch die Jahrgangsnummer teilbar ist.

601235 Die Kreise $k_1$ und $k_2$ schneiden sich in zwei Punkten und liegen innerhalb des Kreises $k,$ der die Kreise $k_1$ und $k_2$ in den Punkten $P$ beziehungsweise $Q$ so berührt, dass einer der Schnittpunkte von $k_1$ und $k_2$ auf der Strecke $\overline{PQ}$ liegt (Abbildung A 601235).
Man beweise, dass dann für die Radien $r_1,$ $r_2$ und $r$ der Kreise $k_1,$ $k_2$ und $k$ gilt: $r_1 + r_2 = r.$

601236 Für welche positiven ganzen Zahlen $n$ ist \[ \sum^{n^2}_{k=1} \left\lfloor \frac52 + \sqrt{k} \right\rfloor \] eine Primzahl?

Hinweis: Für eine reelle Zahl $x$ bezeichnet $\lfloor x \rfloor$ die größte ganze Zahl, die nicht größer als $x$ ist.

Переведено.

@темы: Олимпиадные задачи

Comments

[All_ex]

601231 Найдите все пары $(x, y)$ действительных чисел, которые удовлетворяют системе уравнений \[ \frac{x}{y} + \frac{y}{x} = \frac{25}{12},\ (1) \qquad x^2 - y^2 = 7\ (2) \]

601232 Дан параллелограмм $ABCD$, площадь которого равна $I$. На каждой стороне параллелограмма достраиваются квадраты "наружу", то есть квадраты не имеют пересечения с параллелограммом. Центры этих четырех квадратов образуют квадрат площади $Q_a$. Кроме того, на каждой стороне параллелограмма достраиваются квадраты "внутрь", то есть квадраты пересекаются с параллелограммом. Центры этих четырех квадратов также образуют квадрат, площадь которого равна $Q_i$.
Докажите, что $ Q_a - Q_i = 2I $.

[All_ex]

601233 Пусть $n$ натуральное число. Квадратный пирог разрезан на $n \ times n$ квадратных кусочков, на каждом из которых не более одной клубники. Назовём пирог вкусным, если на всех кусочках на обеих диагоналях лежит клубника, а так же в каждом ряду и каждом столбце нечетное количество кусочков с клубникой.
Найдите все $n$, для которых есть вкусный пирог с ровно $\lceil n^2/2 \rceil$ ягодами клубники.
Примечание: если $x$ действительное число, то $\lceil x \rceil$ обозначает наименьшее целое число $m$, которое удовлетворяет неравенству $m \ge x$.

[All_ex]

601234 60-я олимпиада по математике пройдет в 2020 и 2021 годах. Во время подготовки Эмилия заметила, что если от каждого номера года взять двузначное число, состоящее из десятков и единиц, то их произведение $20 \cdot 21$, делится на год номер олимпиады - 60, в то время как в следующем году $21 \cdot 22$ не будет делится на 61.
Теперь Эмилию интересует ответ на вопрос как часто встречается такая делимость.
Определите все годы от 40-й математической олимпиады в 2000 и 2001 годах до 138-й математической олимпиады в 2098 и 2099 годах, для которых произведение двух двузначных сокращенных лет делится на номер олимпиады.

[All_ex]

601235 Окружности $k_1$ и $k_2$ пересекаются в двух точках и лежат внутри круга, границей которого является окружность $k$. Окружность $k$ касается окружностей $k_1$ и $k_2$ в точках $P$ и $Q$, при этом одна из точек пересечения окружностей $k_1$ и $k_2$ лежит на прямой $\overline{PQ}$ (рис. A 601235).
Докажите, что для радиусов $r_1$, $r_2$ и $r$ окружностей $k_1$, $k_2$ и $k$ справедливо равенство $r_1 + r_2 = r$.

[All_ex]

601236 Для каких натуральных чисел $n$ значение выражения \[\ sum_ {k = 1}^{n^2} \left \lfloor \frac52 + \sqrt{k} \right \rfloor \] является простым числом?
Примечание: если $x$ действительное число, то $\lceil x \rceil$ обозначает наименьшее целое число $m$, которое удовлетворяет неравенству $m \ge x$.