Найти расстояние

[MisteryS]

Найти расстояние вектора `f=exp(kx)` на подпространство `L_2(-pi, pi)`, порожденное `{1, cos(x), sin(x), cos(2x), sin(2x), ..., cos(nx), sin(nx)}`.

Мои рассуждения: нам дан ортогональный базис (легко проверить, используя определение скалярного произведения в L_2). Затем я этот базис делаю ортонормированным. Ну, а дальше нахожу проекцию вектора f на пространство L_2.
А вот как найти расстояние... (я так понимаю, расстояние от этого вектора до пространства L_2?)....не совсем понимаю.

Вот что такое расстояние от точки до плоскости, ясно. А расстояние от вектора до подпространства......это что? Кратчайший из перпендикуляров, опущенных из вектора на подпространство? Так что ли? И как искать этот перпендикуляр.....ох...

Видимо, из f надо вычесть найденную проекцию этого вектора на подпространство.... и на этом всё?

@темы: Линейная алгебра, Аналитическая геометрия, Векторная алгебра, Высшая алгебра, Векторный анализ, Высшая геометрия

Comments

[All_ex]

любая точка задаётся радиус-вектором... а подпространство - набором базисных векторов...
в таких задачах можно представлять простую геометрическую аналогию - у Вас есть точка и плоскость, проходящая через начало координат... и действовать соответственно...

фактически Вам надо найти ортогональное дополнение данного вектора к подпространству... для этого есть метод отрогонализации Грама-Шмидта.. расстояние до подпространства - это норма этого дополнения...

[All_ex]

с другой стороны можно выписать разложение в ряд Фурье... тогда ортогональным дополнением будет остаток ряда... а его норма может быть найдена из равенства Парсеваля...

по сути, нахождение коэффициентов ряда Фурье будет совпадать с процессом ортоганализации... но вероятно норму считать будет проще, если использовать ряд...

[MisteryS]

All_ex, вот я нашла проекцию (вроде бы всё правильно), у меня k=3/2
Чтобы найти ортогональное дополнение, нужно вычислить `f - pr(f)`. Да?
А затем найти норму этой разности (если я вас правильно поняла....))

Норма функции в данном пространстве вычисляется как интеграл модуля функции в квадрате. Только фот как считать такой ужасный интеграл, где есть сумма, не пойму...

Либо же я просто неправильно решаю(

[MisteryS]

All_ex, вот, что я имела в виду:
Нужно посчитать норму g...как-то.....просто ужасно, хахаха

ой, там должен быть квадрат над нормой

[All_ex]

MisteryS, посмотрите мой второй комментарий...

Если разложить функцию в ряд `f(x) = sum_{k=0}^{infty} ( A_k*cos(k*x) + B_k*sin(k*x) )`, то остаток ряда будет искомым дополнением...

то есть искомое выражение имеет вид `g(x) = sum_{k=n+1}^{infty} ( A_k*cos(k*x) + B_k*sin(k*x) )` ... но это по сути тоже ряд Фурье, поэтому работает равенство Парсеваля `||g||^2 = sum_{k=n+1}^{infty} ( A_k^2*||cos(k*x)||^2 + B_k^2*||sin(k*x)||^2 )` ...