North Mathematics Star of Hope Invitational 2019

[wpoms.]

1. Найдите все положительные целые числа $x,y,$ удовлетворяющие равенству: $3^x+x^4=y!+2019.$

2. Окружности $O_1$ и $O_2$ пересекаются в точках $A,B.$ Диаметр $AC$ окружности $O_1$ пересекает $O_2$ в точке $E,$ диаметр $AD$ окружности $O_2$ пересекает $O_1$ в точке $F.$ $CF$ пересекает $O_2$ в точке $H,$ $DE$ пересекает $O_1$ в точках $G,H,$ $GH$ пересекает $O_1$ в точке $P.$ Докажите, что $PH=PK.$

3. Даны целое число $n$ ($n\geq2$) и действительные числа $a_1,a_2,...,a_n$ такие, что для всех $i = 1, 2, ..., n$ выполняются условия \[ a_i \neq -1, a_{i+2} = \frac{a_i^2+a_i}{a_{i+1}+1}. \] Докажите, что $a_1 = a_2 = ... = a_n.$
Примечание. $a_{n+1}=a_1,$ $a_{n+2}=a_2.$

4. Менеджер руководит работой 8 сотрудников. Однажды он провел несколько встреч с сотрудниками.
(1) Каждая встреча длилась один час. Между встречами не было перерывов.
(2) На каждой встрече присутствовали трое сотрудников.
(3) Любые два сотрудника по крайней мере один раз присутствовали на одной и той же встрече.
(4) Любой сотрудник не мог уйти с работы до завершения всех встреч с его участием.
Сколько времени мог провести на работе сотрудник, которых принял участие в наибольшем количестве встреч?

5. Окружности $O_1$ и $O_2$ пересекаются в точках $A, B.$ Биссектриса внешнего угла $\angle O_1AO_2$ пересекает $O_1$ в $C,$ $O_2$ в $D.$ Точка $P$ лежит на описанной окружности треугольника $BCD$, $CP\cap O_1=E,$ $DP\cap O_2=F.$ Докажите, что $PE=PF.$

6. Пусть $a,b,c,x,y,z$ являются неотрицательными действительными числами и $a+b+c = x+y+z = 1.$ Найдите наибольшее возможное значение выражения $(a-x^2)(b-y^2)(c-z^2).$

7. В стране есть $n$ городов. Все расстояния между парами городов различны. Король нумерует города и устанавливает двусторонние авиалинии между городами так: сначала он соединяет линией город 1 и ближайший к нему город; затем он соединяет линией город 2 и второй по близости к нему город; ... . Наконец, на $n-1$ шаге, он соединяет линией город с номером $n-1$ и самый далекий от него город. Докажите, что король может пронумеровать города так, чтобы он мог добраться из любого города страны в любой другой город на самолете.

8. Для положительного целого числа $n$ определим $f(n)$ как наименьшее положительное число, которое не делит $n.$
Рассмотрим последовательность $(a_n)$: $a_1 = a_2 = 1,$ $a_n = a_{f(n)}+1$ ($n\geq3$). Например, $a_3 = a_2+1 = 2,$ $a_4 = a_3+1 = 3.$
(a) Докажите, существует положительное целое число $C$ такое, что для любого положительного целого числа $n$ выполняется неравенство $a_n\leq C.$
(b) Найдутся ли положительные целые числа $M$ и $T$ такие, что для любого положительного целого числа $n\geq M$ выполняется равенство $a_n = a_{n+T}.$

@темы: Олимпиадные задачи