Алгебра

[MisteryS]

Дана матрица М (см. на рисунке). Надо доказать, что обратная матрица (когда она существует) имеет тот же вид, что и М.


Пункт а) я доказала. А вот пункт б) не выходит. Я пыталась доказать пункт б) просто по формуле для нахождения обратной матрицы через присоединенную матрицу. Подскажите, пожалуйста, есть ли другой способ?

@темы: Линейная алгебра, Высшая алгебра

Comments

[Trotil]

А что конкретно не получается методом присоединённой матрицы? Ответ не сходится или что?

[Epygraph]

Можно попробовать искать обратную матрицу с помощью матричного ряда при достаточно малых значениях `\frac{nx}{\lambda}`. Пусть `E` - матрица порядка `n` из всех единиц. Тогда `M=xE+\lambda I=\lambda (\frac{x}{\lambda}E+I) `. Далее используется матричный аналог тождества `\frac{1}{1+x}=\sum_{k=0}^\infty (-1)^k x^k` для построения `M^{-1}=\frac{1}{\lambda}I+\sum_{k=1}^\infty (-1)^k (\frac{xn}{\lambda})^k E=\frac{1}{\lambda}(I-\frac{xn}{\lambda+xn}E)`.

Таким образом, у обратной матрицы все элементы одинаковые, кроме диагональных, отличающихся на единую константу, т.е. такая матрица имеет тот же вид, что и исходная.

Наконец, элементы исходной матрицы - аналитические функции от `x` и `\lambda`. В силу классической записи обратной матрицы через алгебраические дополнения обратная матрица аналитически зависит от этих переменных. Следовательно, построенная для малых `\frac{nx}{\lambda}` матрица совпадает с обратной матрицей всюду в области существования.

[MisteryS]

Trotil, вот так у меня получается(

[Epygraph]

Поскольку `E^k=n^{k-1}E`, то матричный ряд в моём предыдущем сообщении надо немного поправить делением на `n`.

[Trotil]

И что конкретно не нравится? A^(-1) не должна совпадать с А, а просто иметь схожую структуру.

Например для n=5, x=5, l=3 получаем 23/84 по диагонали и -5/84 по остальным ячейкам. Вроде всё хорошо.

[MisteryS]

Epygraph, вы слишком гениальны для моего скудного ума(((

Но спасибо, что рассказали мне этот способ. Просто кроме этой задачи, я решаю еще и другие. И все они довольно просты. Поэтому, мне кажется, способ, который вы мне показали, будет шоком для всей моей группы и преподавателя, в частности. Так как остальные задачи, которые он нам дал, простые))
Можно ли более просто: "В лоб"? Тем способом, которым я пробовала....?

[MisteryS]

Trotil, ааа...получается, на этом я могу остановиться ? (только внесу значение 1/det(M) в матрицу)

Я думала, что обратная матрица должна быть копией матрицы М....

[Trotil]

Всегда в затруднениях берите частный пример и смотрите, как оно выглядит в цифрах. Обычно помогает найти ошибку.

[MisteryS]

Trotil, Epygraph, всё, я поняла!!!!))) СПАСИБО БОЛЬШОЕ!)))

[Гость]

MisteryS, Вы, как обычно, забыли набрать условие текстом.