Встаньте дети, встаньте в круг...

[All_ex]

Коллега подбросила интересную задачку...
Внутри круга `W` радиуса `R` произвольно выбран отрезок длины `R`. Этот отрезок является диаметром второго круга `w`. Найти вероятность того, что`w` полностью находится внутри `W`.

Немного поразмыслив пришёл к такому решению...

Немного поразмыслив пришёл к такому решению...

Во-первых, от радиуса ничего не зависит, поэтому будем считать `R = 2`...

Во-вторых, каждый круг `w` характеризуется центром - точка `M` ... а поскольку отрезки внутри `W` равновероятны, то вероятность появления "малого" круга, то есть круга с центром в точке `M`, пропорциональна дуге `A A'`, для которой диаметрально противоположная дуга `BB'` тоже лежит внутри `W`...

Таким образом, `M` - это двумерная случайная величина ... а вышеприведённое соображение определяет вид её плотности...

Геометрически нетрудно получить, что ....
1) при `OM = r < 1` круг `w` целиком лежит внутри `W`... то есть `L_{A A'} = pi`...
2) при `OM = r > sqrt{3}` у круга `w` ни один диаметр целиком на лежит внутри `W`... то есть `L_{A A'} = 0`...
3) при `OM = r in [1; sqrt{3}]` находим угол `phi` по теореме косинусов... `4 = 1 + r^2 + 2*r*cos(phi)`... откуда `L_{A A'} = 2*(pi/2 - phi) = 2*arcsin({3 - r^2}/{2*r})` ...

Следовательно, плотность имеет вид `f(M) = f(r) =C * {(1, 0 \le r < 1), (2/pi * arcsin({3 - r^2}/{2*r}), 1 \le r \le sqrt{3}), (0, sqrt{3} < r ):}` ...

Интеграл от плотности по всей плоскости должен равняться единице...`iint_{RR^2} f(M) dxdy = 1` ...
Переходя к полярным координатам получаем

`1 = int_{0}^{2*pi} int_{0}^{sqrt{3}} r * f(r) dr dphi = C * 2*pi * ( int_{0}^{1} r dr + int_{1}^{sqrt{3}} r * 2/pi * arcsin({3 - r^2}/{2*r}) dr ) = `

`= C * 2*pi * (1/2 + {r^2}/pi * arcsin({3 - r^2}/{2*r}) |_{1}^{sqrt{3}} - int_{1}^{sqrt{3}} {r^2}/pi * 1/{sqrt{1 - ({3 - r^2}/{2*r})^2}} * (-3/{2r^2} - 1/2) dr ) = `

`= C * int_{1}^{sqrt{3}} {2*r*(3 + r^2)}/{sqrt{4*r^2 - (3 - r^2)^2}} dr = C * I`

Сначала делаем замену `r^2 = z`... получаем ,что `I = int_{1}^{3} {3 + z}/{sqrt{4*z - (3 - z)^2}} dz` ...

Теперь выделяем под корнем полный квадрат и замена `t = 5 - z` ... тогда `I = int_{2}^{4} {8 - t}/{sqrt{16 - t^2}} dt = int_{2}^{4} {8}/{sqrt{16 - t^2}} dt - int_{2}^{4} {t}/{sqrt{16 - t^2}} dt`

Получили интеграл, который является суммой двух практически табличных интегралов ... дальнейшие подробности я тут уже не буду набирать...

Итого, `1 = C * ( {8*pi}/3 - 2*sqrt{3} )`... откуда находим `C` ...

Дальше всё прозаично... Интересует вероятность `P( r \le 1 ) = C * 2*pi * int_{0}^{1} r dr = {3*pi}/{8*pi - 6*sqrt{3}} ~~ 0.64`


Гложет червь сомнения... так что, если кто видит неточности или ошибки, то высказывайтесь, пожалуйста, по поводу этого варианта решения...

@темы: Теория вероятностей

Comments

[к.черный]

Я уже спрашивала, забила, а теперь снова спрошу (простите):
что мне нужно сделать, чтобы формулы отображались?

[Trotil]

Не понял, зачем рассматривать случай 3), если в этом случае круг w не лежит полностью в W.

[All_ex]

Trotil, Не понял, зачем рассматривать случай 3), если в этом случае круг w не лежит полностью в W.
Круг не лежит, но ведь такой круг возможен, поскольку существуют отрезки, на которых он может быть построен...
Ну, а кроме того, чтобы считать вероятности, нужно распределение определить полностью...

к.черный, Можно установить скрипт pay.diary.ru/~eek/p103173149.htm ... в этом комментарии говорится, что надо предварительно расширение для браузера установить ...
Раньше можно было обойтись без установки скрипта ... для чего отсюда перетащите на панель закладок ссылку AsciiMathML Bookmarklet... при нажатии на значок включается скрипт...

[к.черный]

All_ex, а что не так (если не так) с таким решением?

мопед не мой))

[All_ex]

к.черный, мопед не мой))


а что не так (если не так) с таким решением?
эмм...
ну, мне не нравится то, что некий конец отрезка выбрали первым и относительно него ведут рассуждения...
ведь тут два случая 1) оба конца в кольце... 2) один в кольце, а второй в центральном круге половинного радиуса...
при этом первые учитываются дважды, поскольку обозначенная в решении `M_1` может попасть как в одну точку, так и во вторую... а вторые только один раз...

"я так думаю"(с)...

И ещё одна просьба...

При вставке картинок используйте вариант "Превью в MORE"... что позволяет не прыгать по закладкам при просмотре...

[Trotil]

All_ex, не решал, но если написать программку, то получается ответ, совпадающий с твоим...

ideone.com/mF20hc

[All_ex]

Trotil, приятная новость... )))

[Trotil]

На сайте можно сделать "fork" и "run" и поиграться с результатами.

[к.черный]

О, All_ex, спасибо за комментарий)

И ещё одна просьба...

да, конечно, давно не загружала картинки)

[All_ex]

к.черный, welcome...