Точка во внутр. области многоугольника

[Uriel_01.179]

Задача 8-го класса по теме "Многоугольники" из пособия для углубленного изучения математики В.Ф. Бутузова и С.Б. Кадомцев ( ссылка на учебник www.studmed.ru/butuzov-vf-kadomcev-sv-i-dr-plan... )
"Может ли сумма расстояний от некоторой точки, лежащей внутри четырехугольника, до его вершин быть больше периметра этого четырехугольника ?
Ответ обоснуйте." Чертежи

Если взять случайную точку O внутри данного четырехугольника ABCD и провести расстояния от точки O до вершин A,B,C,D то данный четырехугольник разделится на 4 треугольника: ABO,BOD,COD,ACO( рис. 1). Из неравенства треугольников получаем, что AC AB/2+BD/2+CD/2+AC/2 ). Из выше сказанного следует , что произвольная точка внутренней области многоугольника не подойдет, значит нужна какая то особая точка внутр. области ABCD, но что это может быть за точка ? Я рассмотрел такую O, что расстояние между O и одной из вершин ( на рис. 2 это вершина D ) настолько мало, что им можно пренебречь( таким образом я хотел исключить из неравенства расстояние OD ), но в этом случае мы получим неравенства AB<AO+OB; AC

@темы: Планиметрия

Comments

[Гость]

Иллюстрация к ответу в учебнике

[Uriel_01.179]

Спасибо большое, все таки эту задачу нужно разбирать на конкретном четырехугольнике, главное чтобы в нем была пара равных друг другу сторон ( AB=AC и BE=EC, как на рисунке выше). А затем нужно взять очень близкую к D точку соединить ее с A и B и тогда все получится. Правда смущает, что нельзя представить это в общем случае, не используя линейку ( например, даже если задать длину AB и BD длину AD все равно придется искать с помощью линейки, т.к. материал необходимый для такой операции к началу 8-го класса еще не изучен ). А так, еще раз спасибо.

[Гость]

главное чтобы в нем была пара равных друг другу сторон

Это упрощение. Можно взять и другой, с парой неравных длинных сторон и парой коротких. Его можно получить из треугольника, в котором высота длиннее стороны, к которой она проведена.

[Uriel_01.179]

Можно взять и другой, с парой неравных длинных сторон и парой коротких.

. Вы имеете ввиду, что , например BD и DC могут быть не равными , но AB и AC должны быть меньше и BD и DC ? Сам бы я вряд ли до такого додумался...