[Trotil]

Навеяно ночной задачкой:

найти предел последовательности средних арифметических и средних геометрических:

1) a, b, (a+b)/2, 1/2(b+(a+b)/2), ...
2) a, b, ab^(1/2), (b * ab^(1/2))^(0.5), ...
(решение одинаково, получается красивая простая формула)

3) найти предел последовательности смешанного среднеарифметических и геометрических.
a , b
(a+b)/2, (ab)^(1/2)
1/2 ((ab)^(1/2)+(a+b)/2), (1/2 (a+b)(ab)^(1/2))^(1/2)
...
эту я не решил пока.

@темы: Пределы, Головоломки и занимательные задачи

Comments

[MestnyBomzh]

Случайно не моей задачкой навеяно, которую я постил два поста ниже?) Там тоже похоже на среднее арифметическое.

1) Решил рекуррентное линейное уравнение, `a_n = C_1 + C_2 (-1/2)^n`. Где константы находятся из начальных условий, в частности, `C_1 = (a+2b)/3`, а значит и lim a_n = (a+2b)/3.

[All_ex]

1) a, b, (a+b)/2, 1/2(b+(a+b)/2), ...
2) a, b, ab^(1/2), (b * ab^(1/2))^(0.5), ...
имеется ввиду, что всё время с `b` среднее вычисляется?...

3) найти предел последовательности смешанного среднеарифметических и геометрических.
А тут предел отрезков считается?...

[Trotil]

All_ex, среднее между последним и предпоследним членом последовательности...
3 - здесь чётный и нечётный члены последовательности вычисляются по разным формулам.

[Trotil]

MestnyBomzh дал правильный ответ на задачу 1.

А задачу 3, вероятно, может решить только Гаусс или Эйлер.

www.ma.huji.ac.il/~tamarz/agm-talk.pdf
en.wikipedia.org/wiki/Arithmetic%E2%80%93geomet...
Ответом служит тригометрический интеграл...