Олимпиада стран Залива

[wpoms.]

Олимпиада стран Залива

Олимпиада стран Залива (Gulf Mathematical Olympiad) проводится с 1433 года. В ней принимают участие сборные команды Бахрейна, Кувейта, Омана, Катара, Саудовской Аравии и Объединённых Арабских Эмиратов. Задачи для олимпиады составляют гастарбайтеры из Европы под руководством Д. Смита (Англия).

@темы: Олимпиадные задачи

Comments

[wpoms.]

Олимпиада 1438 года

.

Задание 1.
1) Найдите пару $(m,n)$ положительных целых чисел такую, что $K = |2^m-3^n|,$ если a) $K=5;$ b) $K=11;$ c) $K=19.$
2) Найдётся ли пара $(m,n)$ положительных целых чисел таких, что $|2^m-3^n| = 2017?$
3) Все простые числа меньшие $41$ могут быть представлены в виде $|2^m-3^n|,$ где $(m,n)$ --- пара положительных целых чисел. Докажите, что число $41$ не может быть представлено в виде $|2^m-3^n|,$ где $m$ и $n$ --- положительные целые числа.
4) Заметим, что $2^5+3^2=41.$ Известно, что число $53$ является наименьшим простым числом, которое не может быть представлено в виде суммы или разности степени $2$ и степени $3.$ Докажите, что число $53$ не может быть представлено в виде $2^m+3^n,$ $3^n-2^m,$ $2^m-3^n,$ где $m$ и $n$ --- положительные целые числа.

Задание 2. Некоторая страна расположена на островах $A_1, A_2, \cdots, A_N.$ Министр транспорта решил построить несколько мостов так, чтобы было возможно добраться с любого из $A_1, A_2, \cdots, A_N$ островов до любого другого острова на автомобиле, проехав по одному или нескольким мостам. По техническим причинам можно строить мосты только между островами $A_i$ и $A_{i+1},$ где $i = 1, 2, \cdots, N-1$, и между островами $A_i$ и $A_N,$ где $i<N.$
Назовём план постройки мостов хорошим, если, при выполнении указанных выше условий, он перестаёт удовлетворять им при разрушении любого из мостов. Пусть $a_N$ обозначает количество хороших планов. Заметим, что $a_1 = 1$ (единственный хороший план --- не строить мосты) и $a_2 = 1$ (мы строим один мост).
1) Докажите, что $a_3 = 3.$
2) Нарисуйте по крайней мере $5$ различных хороших планов для $N=4$ и островов расположенных в вершинах квадрата.
3) Вычислите $a_4.$
4) Вычислите $a_6.$
5) Докажите, что найдётся положительное целое число $i$ такое, что $1438$ делит $a_i.$

Задание 3.
Две различные окружности $C_1$ и $C_2$ с радиусами соответственно $r_1$ и $r_2$ пересекаются в точках $A$ и $B.$
1) Пусть точка $P_1$ лежит на $C_1,$ а $P_2$ на $C_2$ так, что прямая $P_1P_2$ проходит через $A$. Докажите, что $P_1B \cdot r_2 = P_2B \cdot r_1.$
2) Треугольник $DEF$ вписан в окружность $C_1,$ а треугольник $D'E'F'$ вписан в $C_2.$ Прямые $EE',$ $DD'$ и $FF'$ проходят через $A.$ Докажите, что треугольники $DEF$ и $D'E'F'$ подобны.
3) Окружность $C_3$ проходит через $A$ и $B.$ Пусть прямая $l$ проходит через $A$ и пересекает $C_i$ в точках $M_i,$ где $i = 1, 2, 3.$ Докажите, что значение $\frac{M_1M_2}{M_1M_3}$ не зависит от выбора прямой $l.$ (Предполагается, что $l$ отлична от $AB.$)

Задание 4.
1) Докажите, что $55 < (1+\sqrt{3})^4 < 56.$
2) Найдите наибольшую степень $2,$ которая делит $\lceil(1+\sqrt{3})^{2n}\rceil,$ где $n$ --- положительное целое число.
$\lceil x \rceil$ - наименьшее целое число, большее или равное $x$.

[Дилетант]

Задание 4.
1) Докажите, что $55 < (1+\sqrt{3})^4 < 56.$

Остальные задачи не смотрела, но в этой задаче какие умения нужны, кроме умножения в столбик?
(даже без треугольника Паскаля можно обойтись при желании)

[Гость]

какие умения нужны, кроме умножения в столбик?

Разминка

[All_ex]

нименьшее целое число - наверное, "наименьшее"?...

[Гость]

нименьшее целое число - наверное, "наименьшее"?...

Вы совершенно правы

[Груша Вильямс]

All_ex, как раз подумывал над этой задачкой после комментария Дилетант, но в отличие от предыдущей, задача какая-то дикая на первый взгляд Даже непонятно с чего начать. И скорее всего предыдущая и была дана, как намёк на то, что начинать надо с неравенств)

[Груша Вильямс]

Олимпиада 1438 года ну не может же такого быть хотя бы ввиду того, что ru.wikipedia.org/wiki/История_математических_об...
p.s. касательно исторических вещей, расшифровали вроде как plimpton 322, которой 3700 лет и сказали, что это наиболее точная тригонометрическая таблица hijos.ru/2017/09/03/matematicheskaya-tajna-drev... Думаете во сколько раз точнее таблицы Брадиса?)

[Гость]

ну не может же такого быть

В сообществе не обманывают.

[Гость]

hijos.ru/2017/09/03/matematicheskaya-tajna-drev...

Спасибо. Перевод, конечно, не вполне точен.

[Гость]

www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0315...