[sick_alien]

Здравствуйте уважаемое сообщество.

Делаю курсовую работу по численным методам, третий курс Каунасского Технологического Университета.

Задача – вычисление элементарных функций, ещё точнее – у меня в задании – экспоненциальная функция

`f(x)=e^(x)`

Что я сделал и с чем разобрался:

1) сделал реализацию вычисления разложением в рад Маклорена

`e^(x) = 1 + 1/(1!) x + 1/(2!) x^(2) + 1/(3!) x^(3) + ….+1/(m!) x^(m)`

`p(x) = a_0 +a_1 x + a_2 x^(2)+ a_3 x^(3) + …..+ a_n x^(n)`

и рассчитываю значение функции используя рекуррентную формулу

`F(x) = a_k + a_(k-1) x/k`

2) сделал реализаицию вычисления степенного ряда по схеме Горнера

`p(x) = a_0 + x (a_1 + x (a_2 + …. + x (a_(n-1) + a_n x )))`

(тот же степенной ряд, но коэффициенты рассчитываются заранее, число членов задано)

`b_n := a_n`
`b_(n-1) := a_(n-1) + b_n x_0`
`……...`
`b_0 := a_0 + b_1 x_0`
`p(x_0) = b_0`

3) реализовал редукцию аргумента, для вычисления в интервале

`e^x = a e^(x- ln a)`

Что нужно сделать:

реализовать вычисление экспоненты полиномами Чебышева.

Мне понятно всё. Нашёл литературу:

[1] Благовещенский Ю.В. - Вычисление элементарных функций на ЭВМ, Киев, 1977
[2] К. Ланцош – Практические методы прикладного анализа, 1956

в [1] просто дана формула, для вычисления, тупо переписанная из [2], без каких либо объяснений. Я нашёл книгу Ланцоша, и попытался разобраться. На стр. 467-468 дан пример приложения расчёта экспоненциальной функции смещёнными полиномами Чебышева и ‘tau’ - методом.


Вот эта формула:

`y_n (x) = tau sum_(m=0)^(n) c_n^m m! S_m(x)`

, где

`S_m(x) = 1 + x + x^2 / 2! + …. + x^m / m!`

и тогда мы получаем

`y_n = (sum_(m=0)^(n) c_n^m m! S_m(x)) / ( sum_(m=0)^(n) c_n^m m!)`

Решение оказывается взвешенным арифметическим средних частных сумм Тейлора, где весовой функцией являются полиномы Чебышева.

Там же, в [2] выписаны 5 первых сумм, которые соответствуют формуле выше.

`y_0 = 1`

`y_1 = (1 + 2x) / 1`

`y_2 = (9 + 8 x + 8 x^2) /9`

`y_3 = (113 + 114 x + 48 x^2 + 32 x^3) / 113`

`y_4 = (1825 + 1824 x + 928 x^2 + 256 x^3 + 128 x^4) / 1825`

теперь собственно вопрос:

я разобрался, что за сумма в знаменателе. И как она вычисляется. Коэффииенты смещённого полинома чебышева я также рассчитал и реализовал программно.

Вопрос заключается в том, как рассчитывать выражение (я не понимаю):

`sum_(m=0)^(n) c_n^m m! S_m(x)`

?????? (например последние два члена для ‘y_4’ совпадают с коэффииентами смещённого ряда Чебышева, а другие как то рассчитываются)

для большей понятности распишу коэффииенты смещённого ряда Чебышева (в порядке убывания степени)

`n = 0 : 1`
`n = 1 : 2,-1`
`n = 2 : 8, -8, 1`
`n = 3 : 32, - 48, 18, -1`
`n = 4 : 128, - 256, 160, -32, 1`
`n = 5: 512, -1280, 1120, - 400, 50, -1`

например `1825` можно получить ` = 128*4! + (- 256)*3! + 160*2! + (-32)*1 + 1*1`

Please help, deadline is coming

@темы: Теория многочленов, Численные методы

Comments

[All_ex]

sick_alien, Вопрос заключается в том, как рассчитывать выражение (я не понимаю): `sum_(m=0)^(n) c_n^m m! S_m(x)`
простите за глупый вопрос... а что такое `c_n^m`?...

[Trotil]

Бин. коэффициент , вестимо

[Trotil]

Бин. коэффициент , вестимо

[sick_alien]

 All_ex это коэффициент смещённого полинома Чебышева (внизу поста я их указал). Их рассчитывать я умею.

[All_ex]

Trotil, я тоже сперва подумал на сочетания... но там же про Решение оказывается взвешенным арифметическим средних частных сумм Тейлора, где весовой функцией являются полиномы Чебышева. ... это и смутило...

sick_alien, это коэффициент смещённого полинома Чебышева ... Их рассчитывать я умею.
тогда в чём проблема с вычислением суммы, если все её компоненты Вы считать умеете?...
можно конечно расписать сумму `S_m(x)`... и поменять порядок суммирования... не знаю, может рациональнее получится...

[sick_alien]

 All_ex пока думал, произошло озарение. уже сделал программу, всё считается

эта сумма `sum_(m=0)^n c_n^m m! S_m (x)` считается хитро.

считается она таким образом:

1) имеем степенной ряд

`a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + .... a_n x^n = 1 + x + x^2/(2!) + x^3/(3!)`

2) имеем коэффициенты смещённого полинома Чебышева `c_m^n`

что получается

например нам нужно рассчитать эту сумму для `n=4`

тогда

`c_4^1 * 0! * (1)`
`+`
`c_4^2 * 1! * (1 + x)`
`+`
`c_4^3 *2! * (1 + x + x/(2!) )`
+
`c_4^4 *3! * (1 + x + x/(2!) + x/(3!) )`

и всё прекрасно считается, ряд из 16-ти членов даёт абсолютную ошибку порядка `10^(-22)`

спасибо что поддержали меня, мне наверное это и помогло разобраться

[All_ex]

sick_alien, например нам нужно рассчитать эту сумму для n=4 тогда ...
Ну, это простое вычисление в лоб...
В последнем комментарии я писал о возможной смене порядка слагаемых в этой сумме...
В Вашем примере
`(c_4^1*0! + c_4^2*1! + c_4^3*2! + c_4^4*3!) * 1 + (c_4^2*1! + c_4^3*2! + c_4^4*3!) * x + (c_4^3*2! + c_4^4*3!) * {x^2}/{2!} + (c_4^4*3!) * {x^3}/{3!}`
Свойств этих сумм я не знаю, но возможно они как-то упрощаются ...

[Гость]

да, класс