Доброго дня!
Необходимо исследовать на сходимость следующий ряд
`sum_(n=1)^(infty) ( (-1)^n/sqrt(n) * arctg (1/(2n+3)) )`
Я поискала в интернете и увидела, что примеры такого типа обычно решаются при помощи признака Лейбница, однако мы еще этой темы не проходили и решать нужно другим способом.
Я пробовала использовать признаки сравнения и приводить данный ряд к более простому (я не уверена в этих манипуляциях):
arctg (1/(2n+3)) ~ 1/(2n+3); 1/(2n+3) ~ 1/(2n)
Откуда в конечном счете имела ряд
`sum_(n=1)^(infty) ( (-1)^n/sqrt(n) * 1/(2n) ) = sum_(n=1)^(infty) ( 1/2 *( (-1)^n/sqrt(n)* 1/n) ) = sum_(n=1)^(infty) ( 1/2 * ( (-1)^n/ n^(3/2) ) )`
Но вот дальше опять вопрос, я могу сравнить полученный интеграл с интегралом `sum_(n=1)^(infty) ( 1/ n^(3/2) )` и далее опять же применять признак сравнения? Я просто не знаю, что делать с (-1)^n
Прошу помощи!
читать дальше
Необходимо исследовать на сходимость следующий ряд
`sum_(n=1)^(infty) ( (-1)^n/sqrt(n) * arctg (1/(2n+3)) )`
Я поискала в интернете и увидела, что примеры такого типа обычно решаются при помощи признака Лейбница, однако мы еще этой темы не проходили и решать нужно другим способом.
Я пробовала использовать признаки сравнения и приводить данный ряд к более простому (я не уверена в этих манипуляциях):
arctg (1/(2n+3)) ~ 1/(2n+3); 1/(2n+3) ~ 1/(2n)
Откуда в конечном счете имела ряд
`sum_(n=1)^(infty) ( (-1)^n/sqrt(n) * 1/(2n) ) = sum_(n=1)^(infty) ( 1/2 *( (-1)^n/sqrt(n)* 1/n) ) = sum_(n=1)^(infty) ( 1/2 * ( (-1)^n/ n^(3/2) ) )`
Но вот дальше опять вопрос, я могу сравнить полученный интеграл с интегралом `sum_(n=1)^(infty) ( 1/ n^(3/2) )` и далее опять же применять признак сравнения? Я просто не знаю, что делать с (-1)^n
Прошу помощи!
читать дальше
-
-
17.09.2016 в 18:29-
-
17.09.2016 в 21:18Но опять же, про нее я узнала на просторах интернета, чисто теоретически на лекциях мы ничего такого не проходили, и в ответе я должна написать, что интеграл либо просто сходится, либо расходится.
-
-
17.09.2016 в 21:28Я поискала в интернете и увидела, что примеры такого типа обычно решаются при помощи признака Лейбница,
Теорема не сложная... можно её разобрать самостоятельно...
однако мы еще этой темы не проходили и решать нужно другим способом.
Тогда возникает вопрос, а что Вы проходили?...
Например, признак Дирихле Вам давали на лекциях?...
-
-
17.09.2016 в 21:40Да на самом деле кроме самого начального - признака сравнения\предельного признака сравнения\признака Даламбера\признака Коши\интегрального признака Коши\признака Раабе- ничего не давали пока что.
Просто, как я понимаю, с их помощью я ряд этот не смогу исследовать?
-
-
17.09.2016 в 21:51Выход только один... самообучение...
Либо про теорему Лейбница, либо про абсолютную сходимость (в идеале про то и другое)... всё равно Вам про это будут рассказывать, коль скоро дают такие примеры... (правда, почему сначала дают, а потом рассказывают - это лучше уточнить у преподавателя) ...
-
-
17.09.2016 в 21:55Если полученный ряд из модулей сходится, то исходный ряд сходится... (в таком случае говорят, что ряд сходится абсолютно)...
Стоить обратить внимание, Если полученный ряд из модулей расходится, то исходный ряд может как сходится, так и расходится... то есть требуется дополнительной исследование...
-
-
17.09.2016 в 22:00Тогда получается, что я должна уже в ходе решения рассматривать сходимость данного ряда, но уже по модулю
Вот такой ряд уже можно сравнивать с `sum_(n=1)^(infty) ( 1/ n^(3/2) )` или нет?
-
-
17.09.2016 в 22:12Тогда получается, что я должна уже в ходе решения рассматривать сходимость данного ряда, но уже по модулю
Вы немного путаете... Теорема Лейбница утверждает сходимость ряда, но не гарантирует сходимости ряда из модулей...
Если рассматриваете модули, то исследуете абсолютную сходимость... и тогда для ряда из модулей уже можете применять разные сравнения...
!!!!! обращаю внимание на то, что признаки сравнения работают только для знакоопределённых рядов...
Если в решении из топика убрать минус единицу в степени, то Вы придёте к ряду, который у Вас написан... `sum_(n=1)^(infty) ( 1/ n^(3/2) )` ... его уже не надо сравнивать, надо делать вывод... для таких рядов есть готовый результат о сходимости в зависимости от показателя степени в знаменателе... (но если Вам это не известно, то можно применить интегральный признак)...
-
-
17.09.2016 в 22:14В теореме Лейбница, Вы рассматриваете члены ряда без минус единицы в степени... и проверяете, что эта последовательность монотонно убывает и стремится к нулю...
-
-
17.09.2016 в 22:18-
-
17.09.2016 в 22:23