Сопряженное линейное пространство.

[IWannaBeTheVeryBest]

Всем привет. Сейчас читаю раздел Линейной алгебры. Про сопряженное пространство. Определение такое
"Линейное пространство $L^*$ всех линейных функций на линейном пространстве `L` называется сопряженным для `L`."
Если я правильно понимаю, линейная функция ставит в соответствие вектору `x` пространства `L` некоторое число `f(x)` из поля `k`. Это получается отображение `f : L -> k`.
Но ведь множество "всех линейных функций" - это же просто множество чисел получается? То есть $L^*$ - просто поле `k`? Ну или скорее так - $L^*$ является подмножеством поля `k`.

@темы: Линейная алгебра

Comments

[IWannaBeTheVeryBest]

Хотя, я тут подумал, наверное имеется ввиду не множество чисел, а множество операторов. Ну то есть получается, что `L^*` - это множество матриц операторов, размерностью `1xn`, которые переводят n-мерное пространство в одномерное. Тогда получается, что это действительно вектора и на таком пространстве можно задать базис, называемый биортагональным к базису в `L`

[Alidoro]

Я все же призываю вас довериться логике учебника и мыслить в соответствии с ним. Рассматривать линейное отображение как оператор интересно в качестве упражнения. Но линейные отображения и сопряженные пространства все-таки можно назвать самыми примитивными понятиями. Думать об основном поле как о линейном пространстве, а о линейных отображениях как о частном случае операторов - плохая идея.

[IWannaBeTheVeryBest]

Alidoro, Просто меня смутило само определение. Дальше в учебнике говорится, что $L^*$ является n-мерным да еще в нем можно определять базис. Это каким образом? Если линейная функция - это просто число? Мозг можно сломать. Единственный выход, ну как по мне, это конкретно воспринимать $L^*$ как пространство матриц операторов. Ну или матриц отображений, `f : L -> k` если угодно, что то же самое. Просто читать учебник и вообще не понимать, что происходит и какие конкретно вектора находятся в $L^*$ для меня трудно.
Еще в учебнике до того, как сказали, что $L^*$ - сопряженное линейное пространство было это

Поэтому я и подумал, что это пространство надо рассматривать именно как пространство "`f + g`" и "`\alpha * f`". Ну или просто как пространство матриц отображений.
На всякий случай. В учебнике `\varphi` и `\psi` определяются как строки коэффициентов - это действие операторов `f` и `g` соответственно на базисных векторах пространства `L`

[Alidoro]

А почему вы называете линейную функцию числом? Может, в этом всё дело?

[IWannaBeTheVeryBest]

Alidoro, Ну как я понимаю, результат линейной функции - это число. Сама линейная функция - это произведение матрицы преобразования на вектор столбец. Хотя... В определении было сказано, что линейными функциями являются `f` и `g`. А это получается не одно и то же, что и `f(x)` и `g(x)`. Ну если понимать линейную функцию в первом смысле, то это действительно строки компонент, то бишь вектора. Просто у меня в мозгах еще мат.анализ путается. Я еле свыкся с мыслью, что в записи `f(x)` аргумент - это вектор, а не число.

[Alidoro]

Отображения в алгебре и анализе - одно и то же. Функция это синоним отображения. В анализе их называют функции, но и в алгебре часто называют. В линейной алгебре часто говорят о линейных операторах или о линейных формах. Но это тоже функции. Никаких матриц в определении нет. Матрицы могут появиться, только если в пространстве задан базис. Если вы хотите определять функцию как набор коэффициентов, то вам придется сказать, что этот набор связан с базисом и он преобразуется вполне определенным образом при переходе к другому базису. Вам же в учебнике пишут прямым текстом, что линейная форма это просто линейная функция (аддитивность плюс однородность). Вот путать со школьным определением линейной функции, действительно, не следует. В школе в линейной функции может присутствовать свободный член. И вообще, о школьном определении линейности лучше забыть. А определение функции надо помнить еще со школы. Оно рулит.

[IWannaBeTheVeryBest]

Alidoro,

Функция это синоним отображения.

Ну вот я поэтому и думаю, что $L^*$ - это пространство матриц этого отображения. Эти матрицы - векторы строчки порядка n, которые содержат "компоненты" - действие данной функции на базисных векторах L. Просто если это не так, то я тогда вообще не понимаю, что в сопряженном пространстве находится. Линейная функция ставит в соответствие вектору из L число.

[All_ex]

IWannaBeTheVeryBest, Линейная функция ставит в соответствие вектору из L число.
Я дико извиняюсь за вмешательство... но вроде уже Alidoro отметил, что Вы рассматриваете не значение функций, а пространство самих функций...
То есть рассматривается `L^{ast} = { k*x \ | \ x in L, \ k in RR^n \ }` ...

[Alidoro]

Ну и неправильно думаете. В пространствах, где нет базиса или не может быть базиса, то есть там где функция не может быть задана матрицей, сопряженное пространство тем не менее можно определить.

[Alidoro]

я тогда вообще не понимаю, что в сопряженном пространстве находится

Сопряженное пространство состоит из всех линейных функций. Разве не это написано в учебнике? Какой он, к стати?
И что здесь непонятного?

[IWannaBeTheVeryBest]

Эмм... Ну я извиняюсь конечно за свою тупость.

Какой он, кстати?

Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. Только пожалуйста не отговаривайте его читать. Я уже проникся им))
Так... Еще раз. $L^*$ `= {k * x, | x \in L, k \in R^n}`
Хорошо. Понял. Но ведь это же произведение двух векторов. 2 вектора, размерности n, могут дать в произведении либо число, либо квадратную матрицу. В зависимости от того, как умножать. Или вообще не имеет значения, что в итоге получается? Просто рассматривается множество таких функций, то есть как бы самих произведений? А есть ли в этом смысл какой-то вообще? И еще. Там определяется еще биортогональный базис. Становится все сложнее. Получается, что этот базис тоже состоит из функций, если $L^*$ - пространство функций?

[Alidoro]

Становится все сложнее. Получается, что этот базис тоже состоит из функций

Да, получается. А что тут сложного? i-й вектор этого базиса это такая функция, которая на i-м векторе базиса основного пространства L равна единице, а на остальных векторах базиса равна нулю. Любая линейная функция может быть представлена как линейная комбинация таких базисных векторов сопряженного пространства.

[IWannaBeTheVeryBest]

Ааа ну вообще да. Там и дальше в учебнике это сказано. Ладно, спасибо всем))