Геометрия, ЕГЭ 2016, 6 июняВ правильной призме `A\dots C_1` сторона основания `AB` равна 6, а боковое ребро `AA_1` равно 3. На ребре `B_1C_1` отмечена точка `L` так, что `B_1L=1`. Точки `K` и `M` --- середины рёбер `AB` и `A_1C_1` соответственно. Плоскость
`\gamma` параллельна прямой `AC` и содержит точки `K` и `L`.
а) Докажите, что прямая `BM` перпендикулярна плоскости `\gamma`.
б) Найдите объём пирамиды, вершина которой --- точка `M`, а основание --- сечение призмы плоскостью `\gamma`.
б') Найдите расстояние от вершины `C`, до плоскости `\gamma`.
читать дальше
В основании прямой призмы `A\dots C_1` лежит прямоугольный `Delta ABC (/_ C=90^{\circ}, AC=4, BC=16; A A_1=4sqrt2)`. Точка `Q` --- середина ребра `B_1A_1`. Точка `P` делит ребро `B_1C_1` в отношении 1:2, считая от `C_1`. Плоскость `APQ` пересекает ребро `C C_1` в точке `M`.
а) Докажите, что `M` --- середина `C C_1`.
б) Найдите расстояние от точки `A_1` до плоскости `APQ`.
В правильной призме `A\dots D_1` сторона основания `AB` равна 8, а боковое ребро `A A_1` равно 4. На ребрах `BC` и `D_1C_1` отмечены точки `K` и `L` так, что `BK=4, C_1L=6`. Плоскость `\gamma` параллельна прямой `BD` и содержит точки `K` и `L`.
а) Докажите, что прямая `AC_1` перпендикулярна плоскости `\gamma`.
б) Найдите объём пирамиды, вершина которой --- точка `C_1`, а основание --- сечение призмы плоскостью `\gamma`.
б') Найдите расстояние от вершины `C`, до плоскости `\gamma`.
В правильной пирамиде `SABC` сторона основания равна 12, а высота равна 1. На рёбрах `AB, AC` и `AS` отмечены точки `M,N` и `K` соответственно, причём `AM=AN=3` и `AK=7/4`.
а) Докажите, что `MNK\parallel SBC`.
б) Найдите расстояние от точки `K` до плоскости `SBC`.
В правильной пирамиде `SABCD` сторона основания равна 16, а высота равна 4. На рёбрах `AB, CD` и `AS` отмечены точки `M,N` и `K` соответственно, причём `AM=DN=4` и `AK=3`.
а) Докажите, что `MNK\parallel SBC`.
б) Найдите расстояние от точки `K` до плоскости `SBC`.
В правильной пирамиде `SABCD` боковое ребро `SA=\sqrt5`, а высота `SH=\sqrt3`. Точки `M` и `N` --- середины рёбер `CD` и `AB`. Точка `N` --- вершина пирамиды `NSCD`, `NT` --- её высота.
а) Докажите, что точка `T` делит `SM` пополам.
б) Найдите расстояние между прямыми `NT` и `SC`.
В трапеции `ABCD` боковая сторона `AB` перпендикулярна основаниям. Из точки `A` на сторону `CD` опустили перпендикуляр `AH`. На стороне `AB` отмечена точка `E` так, что прямые `CD` и `CE` перпендикулярны.
а) Докажите, что прямые `BH` и `ED` параллельны.
б) Найдите отношение `BH:ED`, если `/_ BCD=135^{circ}`.
В трапеции `ABCD` точка `E` --- середина основания `AD`, точка `M` --- середина боковой стороны `AB`. Отрезки `CE` и `DM` пересекаются в точке `O`.
а) Докажите, что площади четырёхугольника `AMOE` и треугольника `COD` равны.
б) Найдите, какую часть от площади трапеции составляет площадь четырёхугольника `AMOE`, если `BC=3, AD=4`.
В треугольнике `ABC` проведены высоты `AK` и `CM`. На них из точек `M` и `K` опущены перпендикуляры `ME` и `KH` соответственно.
а) Докажите, что прямые `EH` и `AC` параллельны.
б) Найдите отношение `EH:AC`, если `/_ ABC = 30^{circ}`
В остроугольном треугольнике `ABC` проведены высоты `A A_1` и `C C_1`. Из точек `A_1` и `C_1` к отрезкам `C C_1` и `A A_1` проведены высоты `A_1L` и `C_1K`.
а) Докажите, что отрезок `KL` параллелен `AC`.
б) Найдите отношение `KL:AC`, если угол `B` задан. Ответ: `KL:AC=cos^2(B).
Один из двух отрезков, соединяющих середины противоположных сторон четырёхугольника, делит его площадь пополам, а другой в отношении 11:17.
а) Докажите, что данный четырёхугольник --- трапеция.
б) Найдите отношение оснований этой трапеции.
Квадрат `ABCD` вписан в окружность. Хорда `CE` пересекает диагональ `BD` в точке `K`.
а) Докажите что `CK*CE=AB*CD`.
б) Найдите отношение `CK:KE`, если `/_ ECD = 15^{circ}`.
В окружность вписан квадрат `ABCD`. Через середины сторон `BC` и `CD` проведена хорда `MK` окружности.
а) Доказать, что треугольник `AMK` – равносторонний;
б) Найти площадь треугольника, если радиус окружности равен 2.
Дан треугольник `ABC` с углом `/_ ABC=60^{circ}`, в него вписана окружность, на стороне `AC` точка касания `M`.
А) Докажите, что `BM` не больше утроенного радиуса вписанной окружности.
Б) Найдите `sin(BMC)`, если `BM=2.5r`.
Окружность касается стороны АС остроугольного треугольника АВС и делит каждую из сторон АВ и ВС на 3 равные части.
а) Докажите, что треугольник АВС равнобедренный.
б) В каком отношении высота этого треугольника делит сторону ВС?
@темы:
Планиметрия,
Стереометрия,
ЕГЭ
-
-
16.06.2016 в 18:48-
-
17.06.2016 в 04:52-
-
16.07.2016 в 07:45а) Докажите, что площади четырёхугольника `AMOE` и треугольника `COD` равны.
б) Найдите, какую часть от площади трапеции составляет площадь четырёхугольника `AMOE`, если `BC=3, AD=4`.
Решите пожалуйста.
-
-
16.07.2016 в 14:05п.а) очевиден: докажите равовеликость треугольников AMD и ECD.
п.б) 1) Продлите DM до пересечения с продолжением CB и надите отношение CO:OE.
2) Задайтесь площадью треугольника EOD и выразите через неё площади треугольника ECD и трапеции.
3) теперь можно и подсчитать результат.