Однородное волновое уравнение

[kanoChan]

Здравствуйте! Дано волновое уравнение `U_{t t}=a^2 U_{x x}` с однородными начальными условиями `U(x,0)=U_{t}(x,0)=0` и граничными условиями `U(0,t)=U_{x}(l,t)=Q/E`, где `Q/E` - это константа.
Верно ли, что сначала надо найти собственные значения и собственные функции задачи Штурма-Лиувилля при условиях `y(0)=0,y'(l)=Q/E`?

@темы: Уравнения мат. физики

Comments

[All_ex]

Сначала делают граничные условия однородными... а затем ищут собственные функции для однородных условий...

[kanoChan]

А подскажите как здесь перейти к однородным граничным условиям?

[All_ex]

отнять частное решение, удовлетворяющее начальным данным...

[kanoChan]

То есть это представить `U(x,t)=V(x,t)+W(x,t)`, где `W(x,t)=Q/E * x/l`, а `V(x,t)` является решением задачи
`V_{t t}=a^2 V_{x x}, V(0,t)=V_{x}(l,t)=0, V(x,0)=-Q/E * x/l, V_{t}(x,0)=0` ?

[All_ex]

ну, как-то так...

[kanoChan]

Но мне кажется, что это неправильно... что получается именно такие задачи

[kanoChan]

Потому что уже даже проверяя условие `U(x,0)` мы получим `Q/E *x/l`, а по условию `U(x,0)=0` ...

[All_ex]

Потому что уже даже проверяя условие `U(x,0)` мы получим `Q/E *x/l`
`U` - оно конечно равно нулю, но Вы же формулируете задачу относительно новой функции - `V`... а она уже не даёт нулевых начальных данных... так, что никаких подвохов тут нет...

[kanoChan]

Тогда получается,что `U(x,t)=Q/E*x/l+ 4Q/(E*l^2*pi^2) \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^(n+1)/(2n+1) cos( (a\pi (2n+1))/(2l)t)*sin( (\pi(2n+1))/(2l)x)`

[kanoChan]

А можно взять функцию `W`, определив ее как `W=Q/E * x^2/(2l)` ?

[All_ex]

Похоже на правду... (только вычисления я не проверял... ...)...

[All_ex]

А можно взять функцию `W`, определив ее как `W=Q/E * x^2/(2l)` ?
можно... только у Вас тогда новое уравнение будет неоднородным...

[kanoChan]

только у Вас тогда новое уравнение будет неоднородным...

-да, выходит неоднородным...

но все же следующий вопрос меня волнует сильно. Мы нашли решение `U(x,t)`, найдем `U(x,0)`. Сумма будет равна нулю и останется слагаемое `Q/E *x/l`, а по условию `U(x,0)=0`...

[kanoChan]

а нет, не 0, извиняюсь...

[kanoChan]

А еще последний вопрос, можно тогда взять и `W=x*Q/E`?

[All_ex]

А еще последний вопрос, можно тогда взять и `W=x*Q/E`?
Что-то я не досмотрел в первый раз... конечно должна быть такая функция, а не `Q/E *x/l` - ведь производная у этой функции на правом конце будет `Q/{E*l}`...
Простите, за невнимательность... ... хоккей он такой хоккей...

[kanoChan]

О да) Сегодня молодцы - раскатали)))

[All_ex]

О да) Сегодня молодцы - раскатали))) -

[kanoChan]

Не знай)) Канадцы очень сильны,да и чехи,суоми... Но верим в наших!