Помогите пожалуйста разобраться с выводом, не понимаю с самого начала.
Пусть `f(x,y,z)` - некоторая функция, а `S` - замкнутая поверхность, ограничивающая объём `V` (рис. 26).
На отрезке `12`, параллельном оси `x`, `f` является функцией одного аргумента `x`. Интегрируя вдоль этого отрезка, получим `int_(12) (partial f)/(partial x)dx=f_2-f_1`,
где `f_1` и `f_2` - значения функции `f` на концах рассматриваемого отрезка.
Построим теперь бесконечно узкий цилиндр, одной из образующих которого является отрезок `12`. Пусть `dsigma` - площадь его поперечного сечения (величина существенно положительная). Умножим предыдущее соотношение на `dsigma`. Так как `dsigmadx` есть элементарный объём `dV`, заштрихованный на рисунке, то в результате получится
`int_(DeltaV) (partial f)/(partial x)dV=(f_2-f_1)dsigma`, где `Delta V` - часть объема `V`, вырезаемого из него поверхностью цилиндра.
Как понимаю `f(x,y,z)` - некоторая функция трёх переменных, областью определения которой являются некоторые точки пространства `RR^3`.
1) Не понимаю предложения На отрезке `12`, параллельной оси `x`, `f` является функцией одного аргумента `x` - это как представить? Как проекцию `f(x,y,z)` на ось `x`?
2) Если рассматривать функцию двух переменных `f(x,y)`, то тут даже не понятно, что будет её проекцией на ось, ведь она (функция) будет некоторой поверхностью в пространстве. Если геометрический смысл частной производной это тангенс угла `(partial z)/(partial x)=tg(alpha)`, то тогда подынтегральное выражение вроде как будет `dz=(partial z)/(partial x)dx`, то есть приращение `dz`, а не `dx`. Как получают кусок `dx`?
3) Как понимать интеграл по отрезку? Как определенный интеграл от `x_1` до `x_2`? А по объёмной области?
Пусть `f(x,y,z)` - некоторая функция, а `S` - замкнутая поверхность, ограничивающая объём `V` (рис. 26).
На отрезке `12`, параллельном оси `x`, `f` является функцией одного аргумента `x`. Интегрируя вдоль этого отрезка, получим `int_(12) (partial f)/(partial x)dx=f_2-f_1`,
где `f_1` и `f_2` - значения функции `f` на концах рассматриваемого отрезка.
Построим теперь бесконечно узкий цилиндр, одной из образующих которого является отрезок `12`. Пусть `dsigma` - площадь его поперечного сечения (величина существенно положительная). Умножим предыдущее соотношение на `dsigma`. Так как `dsigmadx` есть элементарный объём `dV`, заштрихованный на рисунке, то в результате получится
`int_(DeltaV) (partial f)/(partial x)dV=(f_2-f_1)dsigma`, где `Delta V` - часть объема `V`, вырезаемого из него поверхностью цилиндра.
Как понимаю `f(x,y,z)` - некоторая функция трёх переменных, областью определения которой являются некоторые точки пространства `RR^3`.
1) Не понимаю предложения На отрезке `12`, параллельной оси `x`, `f` является функцией одного аргумента `x` - это как представить? Как проекцию `f(x,y,z)` на ось `x`?
2) Если рассматривать функцию двух переменных `f(x,y)`, то тут даже не понятно, что будет её проекцией на ось, ведь она (функция) будет некоторой поверхностью в пространстве. Если геометрический смысл частной производной это тангенс угла `(partial z)/(partial x)=tg(alpha)`, то тогда подынтегральное выражение вроде как будет `dz=(partial z)/(partial x)dx`, то есть приращение `dz`, а не `dx`. Как получают кусок `dx`?
3) Как понимать интеграл по отрезку? Как определенный интеграл от `x_1` до `x_2`? А по объёмной области?
-
-
26.03.2016 в 19:28Ну, две переменные зафиксировали... как при вычислении частных производных...
Для двух переменных наглядной аналогией является проведение сечения... разрез поверхности задаёт функцию одной переменной... (у Вас на второй картинке - рис. 1. - выделено жёлтым цветом)...
-
-
26.03.2016 в 22:28Для двух переменных наглядной аналогией является проведение сечения... разрез поверхности задаёт функцию одной переменной...
Ну ведь мы можем бесконечное множество сечений провести и каждый раз новый график, по середине вроде бы вообще тут распределение Гаусса будет. И в каждом их этих сечений координата `z` и `x` меняется при одном статичном `y`.
p.s. не знаю как понять, а понять эту теорему надо. второй день сижу. проблема в том, что дифференциальное исчисление одной переменной только проходили...я почитал про функцию нескольких переменных, графическую интерпретацию функции двух переменных и геометрическую интерпретацию `(partial f)/(partial x)`, проходим несобственные интегралы по программе.
-
-
26.03.2016 в 22:41p.s. кажется тоже понял, `dz=(partial f)/(partial x) dx+(partial f)/(partial y) dy` т.к. `y=const` то `(partial f)/(partial y) dy=0`. т.о. дифференциал функции `dz=(partial f)/(partial x) dx` равен подынтегральному выражению, соответственно если мы будет интегрировать по отрезку икс, то и отрезок функции получим, т.е. `f_2-f_1`.
p.p.s. но как тогда понять предложение Построим теперь бесконечно узкий цилиндр, одной из образующих которого является отрезок `12` если отрезок у нас по иксу идёт, а `f_2-f_1` отрезок по `z` ? Это же будет тогда не длина образующей, а диаметр..?
-
-
26.03.2016 в 23:04цилиндр горизонтально лежит как понимаю, а не вертикально стоит...
p.s. ой, если мы будет интегрировать по отрезку икс, то и площадь над отрезком `12` получим и как площадь над этим отрезком может быть равна образующей...
-
-
26.03.2016 в 23:32О каком цилиндре речь так и не понятно, с одной стороны написано образующая `12`, с другой его объем `int_(DeltaV) (partial f)/(partial x)dV=int_(DeltaV)dz=(f_2-f_1)dsigma=Delta zdsigma`, а значит он стоит, то есть образующая у него будет `11'=22'`...
-
-
27.03.2016 в 19:07Ну, на картинке он изображён полосой... просто тут не очень удачная картинка...
с другой его объем `int_(DeltaV) (partial f)/(partial x)dV=int_(DeltaV)dz=(f_2-f_1)dsigma=Delta zdsigma`
Второй интеграл тут должен выглядеть по другому... от переменной `z` зависит Ваша функция...
а значит он стоит, то есть образующая у него будет `11'=22'`...
Не понял этой фразы...
-
-
15.04.2016 в 21:50Вначале бы хотелось рассмотреть функцию `z=f(x,y)`, а не `f(x,y,z)`. Для простоты.
Вот это я правильно на рисунке указал, df или dz без разницы как понимаю.
`dz=(partial f)/(partial x) dx+(partial f)/(partial y) dy` т.к. `y=const` то `(partial f)/(partial y) dy=0`. т.о. дифференциал функции `dz=(partial f)/(partial x) dx` равен подынтегральному выражению.
То есть я представляю так, на оси `x` есть некоторый отрезок `12`, который мы разбиваем на бесконечно малые `dx` и если их проинтегрируем от `1` до `2`, то получим длину отрезка `12`. Пусть точке `1` оси `x` соответствует некоторая точка `1'` оси `z`, аналогично точке `2` оси `x` соответствует некоторая точка `2'` оси `z`, таким образом отрезку `12` оси `x` соответствует отрезок `1'2'` оси `z`, то есть если мы разобъем отрезок `1'2'` на бесконечно малые части `dz` и если их проинтегрируем от `1'` до `2'`, то получим длину отрезка `1'2'`.
И все эти слова, как понимаю, записываются выражением `int_(12) (partial f)/(partial x)dx=int_(1'2') dz=f_2-f_1`. Правильно ли я понимаю?
Просто если так, то образующая цилиндра будет не вдоль оси `x` ведь направлена...
-
-
16.04.2016 в 00:38Хм... я уже и забыл что я тут писал ...
Вот это я правильно на рисунке указал, df или dz без разницы как понимаю.
Ну, `dx` у Вас длинноват...
По идее должна быть касательная плоскость... тогда дифференциал функции - это приращение касательной плоскости...
Ну, а если `y` зафиксировали, то получаете обычную одномерную картинку из любого учебника, то есть приращение касательной прямой... (в общем она у Вас и нарисована)...
То есть я представляю так, на оси `x` есть некоторый отрезок `12`, который мы разбиваем на бесконечно малые `dx` и если их проинтегрируем от `1` до `2`, то получим длину отрезка `12`.
Почему длину?... Вы же интеграл не от единицы вычисляете...
Что-то Вы тут намудрили с разбиениями... Формула `int_{12} {partial f}/{partial x} dx = f_2 - f_1` является просто одномерным определённым интегралом... в этом случае первообразная от производной есть сама функция... а дальше применяют формулу Ньютона - Лейбница... если хотите, то запишите этот интеграл в более привычной форме -`int_{1}^{2} {partial f}/{partial x} dx`...
Тогда Ваши слова про точки со штрихами дают стандартную формулу замены переменной в определённом интеграле - `int_{1}^{2} {partial f}/{partial x} dx = int_{1'}^{2'} dz = f_2 - f_1`...
Вот только Ваши обозначения `1'2'` к рассматриваемому цилиндру не относятся...
Цилиндр выбирается в области интегрирования...
Для случая `f(x;y)`, цилиндр - это полоса очень маленькой ширины по оси `y`... при этом можно считать, что подынтегральная функция в полосе не зависит от `y`... (если точнее, она отличается младшими слагаемыми, которыми видимо пренебрегают)...
Ну, как-то так...
-
-
16.04.2016 в 01:18Но ведь `f_2-f_1` это разность функции, то есть некоторый отрезок `Delta f`, который направлен вдоль оси функции, тогда и выражение `dsigmaDelta f` объем цилиндра, образующая которого вдоль оси функции направлена...тут и зависаю что-то. Походу эту (правую) часть вообще не надо рассматривать (наделять геометрическим смыслом), а принимать как получаемое, вытекаемое надо.
Вот только Ваши обозначения 1'2' к рассматриваемому цилиндру не относятся... то есть получается, что если умножить этот интеграл `int_{1'}^{2'} dz` на `dsigma` мы в принципе получим такой же объём цилиндра, но сам цилиндр будет уже с другой образующей, а его мы изначально не рассматриваем. Это имелось ввиду?
p.s. всё-таки жёстко как-то написано у Сивухина, ещё и для перваков, обычно если пишут физики мат. дополнения, они это делают растянуто и нудно, а тут вообще лихо так.
-
-
16.04.2016 в 19:53то если умножить этот интеграл `int_{1'}^{2'} dz` на `dsigma` мы в принципе получим такой же объём цилиндра, но сам цилиндр будет уже с другой образующей, а его мы изначально не рассматриваем.
Ну, если Вы делаете замену в интеграле (одномерном или кратном), то меняется область... и подынтегральная функция...
p.s. всё-таки жёстко как-то написано у Сивухина
Честно говоря не читал... смените автора...
-
-
16.04.2016 в 20:21Интересно следующее, мы можем в данном случае (функция двух переменных) рассматривать изменение функции как некоторый отрезок, направленный вдоль оси функции или нет?
-
-
16.04.2016 в 20:32Ну, как бы он так всегда и рассматривается (для любого числа переменных)...
-
-
17.04.2016 в 20:47-
-
17.04.2016 в 21:39