[mkutubi]

Блинков А. Д, Гуровиц В. М. Непрерывность. — М.: МЦНМО, 2015.— 160 с.: ил. ISBN 978-5-4439-0160-2
Двенадцатая книжка серии «Школьные математические кружки» посвящена одному из фундаментальных понятий математики — непрерывности и предназначена для занятий со школьниками 7-11 классов. В неё вошли разработки девяти занятий математического кружка с подробно разобранными примерами различной сложности, задачами для самостоятельного решения и методическими указаниями для учителя. В приложении содержится список дополнительных задач и их решения. Отдельная часть этого раздела посвящена строгим формулировкам определений непрерывности и её свойств, а также формулировкам утверждений более высокого уровня, которые практически являются теоремами и фактами высшей математики. Для удобства использования заключительная часть книжки, как всегда, сделана в виде раздаточных материалов.
Книжка адресована школьным учителям математики и руководителям математических кружков. Надеемся, что она будет интересна школьникам и их родителям, студентам педагогических вузов, а также всем любителям математики.

---

Задача 8.2. Среди коэффициентов многочлена `P(x)` есть отрицательный. Может ли оказаться так, что для всех натуральных `n > 1` коэффициенты многочленов `(P(x))^n` положительны?

Решение

Попробуйте найти ошибку в решении.

---

29 июля Международный день тигра

@темы: Методические материалы, Литература

Comments

[kostyaknop]

Ошибки в ответе точно нет. Квадрат указанного многочлена x^8+2 x^7+x^5+4.25 x^4+x^3+2 x+1, а куб - x^12+3 x^11+1.5 x^10+x^9+8.25 x^8+6.75 x^7-0.125 x^6+6.75 x^5+8.25 x^4+x^3+1.5 x^2+3 x+1. Все коэффициенты положительны.

[mkutubi]

Обратите внимание на коэффициенты при шестой и второй степени квадрата указанного многочлена и при шестой степени куба. К сожалению, неверный пример - самая очевидная и самая ничтожная ошибка в тексте обсуждаемого решения.

[kostyaknop]

Эту ошибку понял. Она на самом деле состоит из двух: 1) ошибки условия - там нужно "неотрицательны" вместо "положительны"
2) вычислительной ошибки, действительно значение 0.5 оказалось слишком большим.

Верно ли, что замеченные Вами ошибки сохранятся и в том случае, если исправить 1)?

Эта задача взята с московской математической олимпиады примерно 15-летней давности, я чуть попозже найду источник.

[mkutubi]

Да, сохранятся.

[kostyaknop]

Перечитал. Математических проблем не вижу. Возможно, нужно написать более развернутый текст, но то что написано, - корректно

[kostyaknop]

Московская олимпиада 1994 г., 10.6
problems.ru/view_problem_details_new.php?id=107...

[mkutubi]

Приведу пример еще одного безупречного решения.

Поскольку любую натуральную степень `n > 3` многочлена можно представить в виде произведения его квадратов и кубов, то достаточно найти такой многочлен с отрицательным коэффициентом, что все коэффициенты его второй и третьей степеней положительны.
Сконструируем сначала многочлен `P_0(x)`, обладающий указанными свойствами, у которого нет отрицательных коэффициентов, но один из коэффициентов равен нулю. Рассмотрим, например, многочлен `P_0(x) = x`. Непосредственным возведением в степень можно проверить, что все коэффициенты многочленов `(P_0(x))^2` и `(P_0(x))^3` будут положительными.
Осталось немного пошевелить (уменьшить) коэффициент при `x^0` многочлена `P_0(x)`. Так как зависимости коэффициентов квадрата и куба многочлена от коэффициентов самого многочлена непрерывны, то при достаточно малом по модулю отрицательном коэффициенте при `x_0` коэффициенты квадрата и куба останутся положительными.
Таким, образом, пример можно привести в таком виде: `P(x) = P_0(x) - ex^0 = x - e` при достаточно малом `e > 0`.

[kostyaknop]

Сарказм понятен. Но ведь штука в том, что коэффициенты квадрата и куба у того многочлена, который приведен в авторском решении, действительно положительны, в то время как у вашего примера - только неотрицательны (есть нулевые). 11011^2 = 121242121 и аналогично для куба. Положительное число при малом шевелении не может стать отрицательным, а 0 - может.

[mkutubi]

Но ведь штука в том, что коэффициенты квадрата и куба у того многочлена, который приведен в авторском решении, действительно положительны,

И в самом деле. После того, что проверка показала, что предложенное значение e не удовлетворяет условию, и для построения примера нужно составить и решить систему неравенств, включая кубическое с плохим корнем, а для этого рассуждения о непрерывности и прочем не нужны, Остапа понесло (с)

[kostyaknop]

Зачем нужно что-то решать для построения примера? Это же типичная теорема существования:ясно, что пример такого типа обязан существовать при малом эпсилон.
Если хочется оценить и выбрать конкретное значение эпсилон, то грубая оценка такая: в 11011 сумма коэффициентов равна 4, поэтому в кубе она 64, поэтому каждый коэффициент не больше 64, поэтому
можно брать эпсилон = 1/65.

[mkutubi]

Зачем нужно что-то решать для построения примера? Это же типичная теорема существования
Гипотеза звучит так : Если можно сконструировать многочлен `P_0(x)`, обладающий указанными свойствами, у которого нет отрицательных коэффициентов, но один из коэффициентов равен нулю, то можно сконструировать и многочлен `P(x)`, обладающий указанными свойствами. В процессе доказательства без конструирования не обходится. Сначала убеждаемся в том, что в качестве `P_0(x)` не могут выступать многочлены 1..3 степени... Совсем не интересно остановиться в самом конце решения и не получить конкретный пример.

каждый коэффициент не больше 64
В многочлене `x^4+1/64x^3-1/65x^2+(1+63/64)x+1` сумма коэффициентов при степенях не равных двум равна четырем, но он не отвечает условию задачи.

[kostyaknop]

Дык, я же не на сумму как аргумент смотрю, а на то, что минимальный коэффициент равен 1. Поэтому оценивается то, насколько он изменится при шевелении коэффициента при x^2.

[mkutubi]

Не понял, что речь идет и о минимальных величинах.

Легко видеть, что эпсилон, равный величине обратной коэффициенту при второй степени `x` четвертой степени аналогичного многочлена с единичными коэффициентами (с нулевым коэффициентом при `x^2`) сорок второй степени, будет удовлетворять задаче для всех аналогичных многочленов степени большей 3.

[kostyaknop]

Вообще не понял последнего предложения.

Давайте попробуем внятно и четко сформулировать претензию к решению. Написано то-то, это неверно потому что так-то и так-то. Контрпример такой-то.
Я вот пока написал пост в www.facebook.com/groups/matkruzhki/permalink/49...
- там его заведомо увидят авторы и не только они.

[mkutubi]

Вообще не понял последнего предложения.
В комментарии говорится о том, что из-за похожей структуры 2 и 3 степеней всех аналогичных многочленов произвольной степени существует значение эпсилон, которое подходит для всех.

Давайте попробуем внятно и четко сформулировать претензию к решению.
1. Минимально. Некорректный пример.
2. Развернуто. Ну это на вкус и цвет. Решение не является решением. Это предъявление ответа с комментариями. Не видно, как его (ответ) можно получить и как учитель должен рассказывать задачу ученикам.

С доступом в facebook у меня проблемы и тратить время на их решение не хочу.

[ashap.info]

Как понимаю, проблемы возникли из-за неоднозначного понимания выражения "все коэффициенты - положительны". Его можно понимать двояко: либо как "все ненулевые коэффициенты положительны", либо как "коэффициенты при всех степенях x, от 0-й до n-й (где n - степень многочлена) - положительны." Приведенный пример с eps=0,5 решает её в первом смысле, а с eps<0,5 - и во втором.
В решении "все коэффициенты - положительны" всюду используется во втором смысле. Тогда в нем нет неверных утверждений за исключением "достаточно выбрать eps=0,5". В частности, нет необходимости решать квадратные и кубические уравнения: коэффициенты квадрата и куба многочлена P0-eps*x^2 полиномиально зависят от eps, их свободные члены равны коэффициентам квадрата и куба многочлена P0. Отсюда положительность при , eps=0 и вблизи 0. Ну, а то что произведение многочленов со всеми положительными коэффициентами (во втором смысле) тоже является таким многочленом - очевидно.
Однако большое спасибо автору этого поста, обратившего внимание, что небольшая неточность может вызвать у читателя большое непонимание.
Во втором издании книги постараемся неточности и неясности исправить.
Редактор книги А.Шаповалов

[mkutubi]

Приведенный пример с eps=0,5 решает её в первом смысле, а с eps<0,5 - и во втором.
Оба эти утверждения ложны.

---

Хотелось бы, чтобы в решении не только приводилась готовая идея, но и объяснялось, как она получена. Почему нужно брать многочлен четвертой степени, как нужно подобрать эпсилон и т.п. вещи.

[ashap.info]

В принципе, об этом и написана вся книжка: как из идеи непрерывности находить подобные решения. Авторы считали, что прием уже более-менее усвоен на более простых задачах, и поэтому решение данной весьма трудной задачи писали без подробностей. Безусловно, если бы речь шла о сборнике олимпиадных задач, столь краткое решение было бы недопустимо. Но в контексте - а это уже 8-е занятие по теме, и до этого подробно разобраны 3 примера - краткость вполне оправдана. Мне кажется, проблемы возникли не из-за краткости, а из указанной выше двусмысленности.
Но, в любом случае, мы благодарны за вопросы и замечания, и я их безусловно передам авторам.

[kostyaknop]

Вообще, конечно, "первый смысл" фразы "все коэффициенты положительны" не имеет права на жизнь. Ни педагогически, ни математически. (Хотя в быту порой очень хочется...) Именно из-за слова "все". Потому что на самом деле этот смысл означает "все коэффициенты неотрицательны", и если считать такой смысл позволительным, то граница между положительностью и неотрицательностью стирается совсем. А для непрерывности это очень важная смысловая граница: если ВСЕ коэффициенты положительны, то их можно пошевелить на эпсилон, чтобы это условие сохранилось. А если все неотрицательны - то нельзя.

[ashap.info]

Виноват, недопроверил, что eps=0,5 не подходит для куба.

[ashap.info]

Что касается первого смысла "все коэффициенты положительны", то он берется вот откуда. Что значит все? Понятно же, что коэффициенты при достаточно высоких степенях - нулевые. Значит, уже не все. Второй вариант ограничивает степень. Но тут вот какая проблема. Часто, работая с многочленами какой-то степени, скажем 7-й, нам удобно рассматривать и многочлены и меньшей степени (тогда, скажем, множество замкнуто относительно сложения), то есть допускать нулевой коэффициент и при x^7. А в первом варианте понимания такого ограничения нет. И множество таких многочленов замкнуто и относительно суммы, и относительно произведения.
Кстати, мне казалось, что автор задачи (это Олег Крижановский) в условии имел в виду как раз первое понимание.