Теория вероятностей III.

[blackhawkjkee]

Проверьте еще эти задания, пожалуйста. Завтра пересдача и, надеюсь, что они будут последними. Голова болит уже от этих вероятностей)
Еще был бы вам очень признателен, если бы мне еще немного помогли в моих предыдущих темах:

1 тема
2 тема

Задания, часть I:

1.1
В трех корзинках находятся пирожки. В первой корзинке - 3 из 10 пирожков с капустой, во второй один из 5, в третьей - 2 из 8. Случайным образом из одной из корзинок берется пирожок. Найти вероятность того, что это будет пирожок с капустой.
1.2
Вероятность выигрыша при покупке одного лотерейного билета равно 0.2. Какова вероятность того, что при покупке 8 лот. билетов, не менее двух будут с выигрышем.
2.1
В коробке из 10 конфет - 4 с ореховой начинкой. Случ. образом берется 2 конфеты. Найти ряд распределения, мат. ожидание и дисперсию дискретной случ. величины - числа взятых конфет с орех. начинкой. Построить график ф-ии распределения.
2.2
Время работы прибора до отказа - непрерыв. случ. величина, распределенная по показательному закону. Среднее время работы 500 часов. Найти вер-ь того, что прибор проработает более 1000 часов. Выписать ф-ию распределения случ. величины.

Решения, часть I:

1.1
`H_i = ` {вытащили пирожок с капустой из `i`-той корзины}
`P(H_i) = 1/3`
`P(A) = sum P(H_i) * (P(A|H_i)) = 1/3*3/10 + 1/3*1/5 + 2/8*1/3 = 1/4`

1.2
`A = ` { вытащено не менее 2 билетов с выигрышами }
`n=8, k=0,1`
`p=0.2, q=0.8`

`P(A) = 1 - [ P_8(0) + P_8(1) ] = 0.49678`

2.1

A = { вытащили конфету с ореховой начинкой }
`N = C_10^2`
`N(A) = C_4^2 + C_4^1`
`P(A) = (C_4^2 + C_4^1)/C_10^2 = ... = p_i`

`q_i = 1 - p_i`

`xi` | `0` | `1` | `2` | `3` | `4` |
`p` | `p_0`| `p_1` | `p_2` | `p_3`| `p_4` |

`p_0 = C_10^0 * p_i^0 * q_i^10`
`p_1 = C_10^1 * p_i^1 * q_i^9`
`p_2 = C_10^2 * p_i^2 * q_i^8`
`p_3 = C_10^3 * p_i^3 * q_i^7`
`p_4 = C_10^4 * p_i^4 * q_i^6`

`M_xi = np => 10 * p_i`
`D_xi = npq => 10* p_i * q_i`

Не стал считать сразу `p_i`, потому что не уверен...
Также не знаю как будет выглядеть график, с ними у меня всегда огромные проблемы.

2.2
Пользовался примером из Кремера, стр. 160

`M(x) = 1/lambda = 1/500`
`phi(x) = 1/500 * e^(-1/500 * x)`
`F(x) = 1 - e^(-1/500 * x), x>=0`

`P(x>1000) = 1 - P(x<=1000) = 1 - F(1000) = 1 - ( 1 - e^(-1000/500)) = e^-2 = 0.1353`

Задания, часть II:

1.1
Студент из 15 вопросов знает 8. Найти вер-ь того, что из билета который содержит 3 вопроса, он ответит не менее чем на 2 вопроса.
1.2
В магазин поступает партии яблок с 3 складов, причем с 1 склада магазин получает 50% яблок, со второго 20% и с третьего 30%. Процент некачественных яблок на 1 складе - 10%, на 2-ом - 5%, на 3-ем - 8%. Найти вер-ь того, что яблоко, купленное в магазине, окажется некачественным. Купленное яблоко оказалось некач. Найти вер-ь того, что оно поступило с 3 склада.
2.1
В урне из 4 шаров один черный. Человек достает шары(без возврата) до появления черного. Выписать ряд распределения дискрет. случ. величины `xi` - числа извлеченных шаров. Найти математич. ожидание и дисперсию, построить график ф-ии распределения `xi`.
2.2
Какую максимальную (по модулю) ошибку измерения можно допустить с вероятностью 0.95, если систематическая ошибка отсутствует, а среднеквадратическая ошибка равна 1.5мм. Ошибка измерений считается распределенной по нормальному закону.

Решения, часть II:

1.1
`N=C_15^3`
`N(A) = C_8^2 * C_3^1 + C_8^3 * C_3^0`
`P(A) = (C_8^2 * C_3^1 + C_8^3 * C_3^0)/C_15^3`

1.2
`H_i =` { выбрали `i` - тый магазин }
`A = ` { купленное яблоко некачественное }
`P(A|H_1) = 0.1`
`P(A|H_2) = 0.05`
`P(A|H_3) = 0.08`
`P(A) = 0.1 + 0.05 + 0.08 = 0.23`

`P(H_3|A) = (P(H_3) * P(A|H_3))/(P(A)) = (0.3 * 0.08)/0.23 = 0.1043`

2.1

`xi` | `1` | `2` | `3` | `4` |
`p` | `p`| `pq` | `pq^2` | `pq^3`|

`p=0.25, q=0.75`
`M_xi = 1/p = 4`
`D_xi = q/p^2 = 12`

График как будет выглядеть не знаю...

2.2
Использовал терминологию отсюда

`a=0`
`sigma = 1.5`
`+- alpha = ?`
`P(-alpha < X < alpha) = 0.95`
`0.95 = Phi((alpha - 0)/1.5) - Phi((-alpha - 0)/1.5)`

Как вычислить отсюда нужное мне `alpha` я не знаю.

@темы: Теория вероятностей

Comments

[Дилетант]

часть I:

1.1. Верно
1.2. Не пересчитывала, но идея верна.
2.1 Такое впечатление, что вы вообще не понимаете, о чем там речь
Это ведь несложная задача.
Случайным образом взяли две конфеты. Сколько из них может быть с ореховой начинкой? Нужно перечислить все возможные варианты. Это и будут значения `xi`, а вероятности для них считаются по формуле гипергеометрического распределения, с которой вы начали (только применили неверно). А что дальше написано, я вообще не понимаю.

[Дилетант]

Про график ФР посмотрите здесь:
www.matematicus.ru/publ/teorija_verojatnosti/sl...

[Дилетант]

часть II:

1.1. Почему у вас второй множитель всюду `C_3^1`, `C_3^0`?.. Сколько вопросов студент не знает?

[Дилетант]

1.2.
`P(A) = 0.1 + 0.05 + 0.08 = 0.23`
А где же здесь вероятности гипотез?

[Дилетант]

2.1. Шары вытаскиваются без возвращения!
Неверно.
Про график посмотрите по моей ссылке.

[Дилетант]

Насчет номеров 2.2 лучше подождать All_ex'a или еще кого-нибудь.
К сожалению на память я этого не помню, а разбираться сейчас нет времени...

[Гость]

blackhawkjkee, а почему условие не набрано текстом?

[All_ex]

Как вычислить отсюда нужное мне `alpha` я не знаю.
Используете нечётность функции Лапласа, а затем смотрите в таблицу...

[blackhawkjkee]

часть I:

2.1 Такое впечатление, что вы вообще не понимаете, о чем там речь

Я просто не очень понимаю когда использовать геометрическое, когда гипергеометрическое, когда еще что-нибудь. Не знаю на какие слова в условии ориентироваться, чтобы понять когда применять то или другое распределение.

Вроде исправил:

`xi` | `0` | `1` | `2` |
`p` | `p_0`| `p_1` | `p_2` |

`p_0 = (C_4^0 * C_10^6)/C_10^2`
`p_1 = (C_4^1 * C_10^5)/C_10^2`
`p_2 = (C_4^2 * C_10^4)/C_10^2`

`M_xi = 0*p_0 + 1*p_1 + 2*p_2 = ...`
`D_xi = 0*p_0 + 1*p_1 + 4*p_2 - M_xi = ...`

часть II:
1.1. Почему у вас второй множитель всюду `C_3^1`, `C_3^0`?.. Сколько вопросов студент не знает?

Исправил:

`N=C_15^3`
`N(A) = C_8^2 * C_3^1 + C_8^3 * C_3^0`
`P(A) = (C_8^2 * C_7^1 + C_8^3 * C_7^0)/C_15^3`

1.2.
`P(A) = 0.1 + 0.05 + 0.08 = 0.23`
А где же здесь вероятности гипотез?

Исправил:

`H_i =` { выбрали `i` - тый магазин }
`A = ` { купленное яблоко некачественное }
`P(A|H_1) = 0.1`
`P(A|H_2) = 0.05`
`P(A|H_3) = 0.08`
`P(H_1) = 0.5 `
`P(H_2) = 0.2`
`P(H_3) = 0.3`

`P(A) = 0.1*0.5 + 0.05*0.2 + 0.08*0.3 = 0.084`

`P(H_3|A) = (P(H_3) * P(A|H_3))/(P(A)) = (0.3 * 0.08)/0.084 = 0.2857`

2.1. Шары вытаскиваются без возвращения!

Вроде исправил:

`xi` | `1` | `2` | `3` | `4` |
`p` | `p`| `p^2*q` | `p^3*q^2` | `p^4*q^3`|

`p=0.25, q=0.75`
`M_xi = 1*p + 2*p^2*q + 3*p^3*q^2 + 4*p^4*q^3 = ...`
`D_xi = 1*p + 4*p^2*q + 27*p^3*q^2 + 64*p^4*q^3 - M_xi = ...`

Как вычислить отсюда нужное мне `alpha` я не знаю.
Используете нечётность функции Лапласа, а затем смотрите в таблицу...

Исправил:

`0.95 = Phi((alpha - 0)/1.5) - Phi((-alpha - 0)/1.5)`
`0.95 = 2Phi(alpha/1.5)`
`0.475 = Phi(alpha/1.5)`

По таблице выходит, что `0.475` дает только `Phi(1.96) => alpha/1.5 = 1.96 => alpha = 2.94`
`P(-2.94 < X < 2.94) = 0.95`

Только вот вроде `2.94` это не правильный ответ. У меня же строгое неравенство, или я что-то путаю?

offtopic

blackhawkjkee, а почему условие не набрано текстом?

Мне было лень C:

[All_ex]

blackhawkjkee, Мне было лень C: - пока мы неторопясь читаем исправления, можете по-быстрому привести топик в соответствие правилам сообщества ...

[Дилетант]

Мне было лень C:

Это неправильный ответ.
Если бы вы знали, как нам лень проверять ваши топики!
Есть ведь правила.
Я вам посочувствовала и не стала настаивать на наборе условий, но нужно всегда оставаться в рамках приличий.

2.1. Исправили, но снова не так.
Откуда в числителе во втором множителе 10 конфет? Сколько конфет из скольки вы выбираете?

Я просто не очень понимаю когда использовать геометрическое, когда гипергеометрическое, когда еще что-нибудь.

Неважно, как они называются. Важно представить себе, какие действия нужно сделать и какова вероятность каждого действия. В этих задачах главное понять условие.

[Дилетант]

All_ex,

..

Кристобаь Хозевич

[blackhawkjkee]

пока мы неторопясь читаем исправления, можете по-быстрому привести топик в соответствие правилам сообщества ..

Сделано.

2.1. Исправили, но снова не так.

Верно?

`p_0 = (C_4^0 * C_6^6)/C_10^2`
`p_1 = (C_4^1 * C_6^5)/C_10^2`
`p_2 = (C_4^2 * C_6^4)/C_10^2`

Остальные решения верные?

[All_ex]

2.1. Исправили, но снова не так.
теперь похоже на правду...


Остальные решения верные? - не все ...
2.1. Шары вытаскиваются без возвращения!
нет... у Вас зависимые события... значит вероятности в последующих вытаскиваниях будут меняться ...


Только вот вроде `2.94` это не правильный ответ. У меня же строгое неравенство, или я что-то путаю?
для непрерывных распределений строгость неравенства не имеет значения...

[blackhawkjkee]

нет... у Вас зависимые события... значит вероятности в последующих вытаскиваниях будут меняться ...

Если вы имеете в виду это правило:
`P(AB) = P(A) * P(B|A)` или `P(B) * P(A|B)` , то я просто не представляю как это записать. Как то слишком сложно выходит, да и посчитать потом верояности типа `P(A|B)` не представляется возможным.
А если не это, то тем более не знаю...

[Дилетант]

теперь похоже на правду..

Нет!

2.1. Исправили, но снова не так.

Там всего две конфеты!
Не могут там вытаскивать 6, 5 и 4 в числителе!

[All_ex]

Дилетант,

Нет! - ... сравнивал исправления нижнего индекса, а на верхний и посмотрел ...

[Дилетант]

А если не это, то тем более не знаю...

еще раз повторяю: главное понять условие и представить ситуацию, а не перебирать формулы...

В урне из 4 шаров один черный. Человек достает шары(без возврата) до появления черного.

Случайная величина принимает значения 1, 2, 3, 4.
1: значит, сразу вытащили черный шар. Вероятность 1/4.
2: в первый раз вытащили белый шар: вероятность 3/4, а во второй раз вытащили черный шар. Но вероятность вытащить черный шар — уже не 1/4, потому что шаров осталось 3! Значит, вероятность вытащить черный шар 1/3. Итого имеем: `p_2=3/4*1/3`
Сможете сами дальше?

[blackhawkjkee]

Сможете сами дальше?

`p_1 = 1/4`
`p_2 = 3/4 * 1/3`
`p_3 = 2/4 * 1/2
`p_4 = 1/4`

Не могут там вытаскивать 6, 5 и 4 в числителе!

Сдаюсь.

[Дилетант]

Сможете сами дальше?

Значения верные, но я немного не понимаю, как получилось `p_3`.

Сдаюсь.

0 с начинкой (всего две конфеты): это означает вытащили 0 конфет из 4-х и ДВЕ конфеты из 6!

`p_0 = (C_4^0 * C_6^2)/C_10^2`
и т.д.

[All_ex]

`p_3 = 2/4 * 1/2`
нет ... здесь же первый шарик достаёте какой?... а второй какой... и третий должен быть, опять же какой?...

`p_4 = 1/4`
это почему?...

Вы можете событие, вероятность которого ищите, описать словами более простыми событиями?... тогда останется только воспользоваться свойствами вероятности...

[Дилетант]

All_ex, на самом деле значение-то вроде верное.
Вопрос в том, как получено. Или я обсчиталась?

[All_ex]

Дилетант, Значения верные ...
если проверяется решение, то я бы такого решения не зачёл... ... посчитал бы, что сделано чётное число ошибок ...

[Дилетант]

All_ex,

.. посчитал бы, что сделано чётное число ошибок ...

Я бы тоже не зачла.

[All_ex]

Дилетант,

...

злые мы ... уйдут от нас...

[blackhawkjkee]

`p_1 = 1/4`
`p_2 = 3/4 * 1/3`
`p_3 = 3/4 * 2/3 * 1/2`
`p_4 = 3/4 * 2/3 * 1/2`

[All_ex]

для полноты картины `p_4 = 3/4 * 2/3 * 1/2* 1/1` ...

[blackhawkjkee]

Сдаюсь.
0 с начинкой (всего две конфеты): это означает вытащили 0 конфет из 4-х и ДВЕ конфеты из 6!

`p_0 = (C_4^0 * C_6^2)/C_10^2`
и т.д.

`p_1 = (C_4^1 * C_6^1)/C_10^2`
`p_2 = (C_4^2 * C_6^0)/C_10^2`

Верно?

[blackhawkjkee]

Эх, пересдача не удалась.
Придеться возвращаться к вам осенью

Все равно спасибо за помощь в этом(III) и в остальных(I и II) топиках!

[Дилетант]

blackhawkjkee, (((

Устно сдавали или письменно?
Задача про конфеты, кстати, наконец-то верно