Линейная алгебра

[@Заноза]

Здравствуйте.

Помогите, пожалуйста, с решением нескольких задач.

1. Пусть F− линейное отображение из ℝ³ в ℝ⁴, такое что F((1;0;0))=(1;1;1;1), F((0;1;0))=(1;2;3;4), F((0;0;1))=(0;1;2;a). При каком действительном a вектор F((0;0;1)) принадлежит линейной оболочке векторов F((1;0;0)) и F((0;1;0))?

Моё решение.

Если вектор принадлежит линейной оболочке, то он должен представлять собой линейную комбинацию этих векторов.
(0;1;2;a)=`alpha`(1;1;1;1)+`beta`(1;2;3;4)=(`alpha`+`beta`;`alpha`+2`beta`;`alpha`+3`beta`;`alpha`+4`beta`)

Система `alpha`+`beta`=0, `alpha`+2`beta`=1, `alpha`+3`beta`=2, `alpha`+4`beta`=a решений не имеет, поэтому таких а нет. Ответ не верен.

2. Пусть векторы a и b образуют базис в линейном пространстве ℝ². Известно, что c=2a+b,d=4a. Если векторы c и d образуют базис пространства ℝ², найдите в нём координаты векторов a и b.

Моё решение.

Если решить систему c=2a+b, d=4a, то получим a=d/4, b=c-d/2. Отсюда координаты a=(0; 1/4), b=(1; -1/2). Верно?

Сроки значения не имеют. Просто разобраться хочу.

@темы: Линейная алгебра, Высшая алгебра, Линейные преобразования

Comments

[Дилетант]

Насчет первой задачи. Почему система не имеет решений?
Из первого уравнения `alpha=-beta`
Из второго сразу получаем, что `alpha=-1`, `beta=1`. Эти значения удовлетворяют и третьему уравнению. Осталось из четвертого найти `a`.
И в самом деле:
(1;2;3;4)-(1;1;1;1)=(0;1;2;3)

[@Заноза]

Дилетант, Вот я тупняк. Спасибо!

[Дилетант]

@Заноза, бывает ))
Вторая вроде верно.