Интеграл

[gelIos1]

Пример: `int_2^[+oo] sin[3x]/x^pdx`
Нужно исследовать на сходимость.

Вот что получается:

С пунктом `a )` всё ясно. Но вот дальше я не уверен. Вроде как доказал, что при `p=1` сходимость условная. Но ведь при `p>1` получается то же самое, т.е. условная сходимость. Но в ответе при `p>1` сходимость абсолютная... Ведь предел `(1-cos6x)/2` и при `p=1`, и при `p>1` равен бесконечности (когда x стремится к +бесконечности). Следовательно интеграл должен расходиться...

@темы: Математический анализ

Comments

[All_ex]

Модуль синуса не имеет ограниченной первообразной...

[gelIos1]

All_ex, ой, я ниже впихнул не, а тут забыл исправить)

[All_ex]

и при `p>1` равен бесконечности - тут достаточно оценить сверху модуль синуса единицей... и сослаться на сходимость интеграла `int_{2}^{+oo} 1/{x^p} * dx`, которую можно проверить непосредственно (или сослаться на известный факт) ...
А рассуждения с оценкой, где появляется `1 - cos(6*x)`, проводятся для `p in (0; 1]`... тут получается разность двух интегралов... один расходится (опять же проверяется руками, либо ссылаетесь на известный результат)... а второй сходится по признаку Дирихле...

[gelIos1]

All_ex,

и при равен бесконечности - тут достаточно оценить сверху модуль синуса единицей... и сослаться на сходимость интеграла , которую можно проверить непосредственно (или сослаться на известный факт) ...

Да, но мне то надо проверить именно абсолютную сходимость. А если `int_2^[+oo] |sin[3x]/x^p|dx` при `p>1` расходится, а `int_2^[+oo] sin[3x]/x^pdx`сходится, то ведь тогда получается условная сходимость?

[All_ex]

если `int_2^[+oo] |sin[3x]/x^p|dx` при `p>1` расходится - Чего ради?... ... сходится он...

[gelIos1]

All_ex,я понял свою ошибку. То что я обозвал `g(x)*|1/x^p|` не расходится. Тут ведь `с=|1/x^p|=0` при `x->+oo`. А условие, что с!=0.
Но как тогда доказать, что он сходится абсолютно?

[All_ex]

Читаем комментарии внимательнее...
тут достаточно оценить сверху модуль синуса единицей... и сослаться на сходимость интеграла `int_{2}^{+oo} 1/{x^p} * dx`, которую можно проверить непосредственно (или сослаться на известный факт) ...

[gelIos1]

All_ex, а если `int_{2}^{+oo} 1/{x^p} * dx` сходится, то `int_{2}^{+oo} |1/{x^p}| * dx` тоже сходится? Для абсолютной ведь сходимости модуль нужен

[All_ex]

Вы интегрируете по положительной полуоси... зачем тут модуль?...

[gelIos1]

All_ex, и правда.. А если бы, допустим, пределы были от -2 до +бесконечности, тогда бы пришлось модуль ставить?

[All_ex]

А если бы, допустим, пределы были от -2 до +бесконечности - тогда добавляется особенность в нуле, которая доставляет отдельные неприятности...
Обычно при наличии нескольких особенностей интеграл разбивают на части...

[gelIos1]

All_ex, Вы извините, что я Вас простыми вопросами мучаю, просто мы на лекциях бежим вперёд практики. Думал сейчас получится самому что-то решить, ан нет)

[gelIos1]

All_ex, Просто разве для того, чтобы доказать, что интеграл функции сходился абсолютно, не надо доказать, что сходится интеграл модуля этой функции?

[All_ex]

Просто разве для того, чтобы доказать, что интеграл функции сходился абсолютно, не надо доказать, что сходится интеграл модуля этой функции?
Надо... вот только Вы сейчас про какой интеграл спрашиваете?...

[gelIos1]

All_ex, исходной, при p>1

[All_ex]

исходной, при p>1 - ... дубль три... ` int_{2}^{+oo} | {sin(3*x) }/{ x^p }| * dx = int_{2}^{+oo} {|sin(3*x)| }/{ x^p } * dx <= int_{2}^{+oo} 1/{ x^p } * dx = ...` последний интеграл вычисляете руками по определению... (или ссылаетесь на известный факт о его сходимости) ...

[gelIos1]

All_ex, ой, как же я протупил( Точно, спасибо огромное!)

[All_ex]

welcome ...

[Alidoro]

А я сначала задачу понял по-другому. Квадратные скобки это целая часть числа. Тоже осмысленная задача.