[wpoms.]

Всероссийская олимпиада школьников. Ленинградская область Задания 2013/14 у.г., 2016/17 у.г., 2018-19 у.г.

@темы: Олимпиадные задачи

Comments

[wpoms.]

Муниципальный этап 2013-14 г.г.

7 класс

[wpoms.]

Муниципальный этап 2013-14 г.г.

8 класс

[wpoms.]

Муниципальный этап 2013-14 г.г.

9 класс

1. На доске записаны несколько натуральных чисел. Известно, что 48% из них четны, а 36% из них меньше 30. Найдите наименьшее из выписанных чисел.

2. Решите систему уравнении: `x^2=4y^2+19`, `xy+2y^2=18`.

3. В треугольнике ABC величина угла А равна 30 градусам, а длина медианы, проведенной из вершины В, равна длине высоты, проведенной из вершины С. Найдите величины углов В и С.

4. Назовем натуральное число подходящим, если оно минимальное среди всех натуральных чисел с такой же, как у него, суммой цифр. Найдите все подходящие числа, являющиеся точными квадратами натуральных чисел.

5. Миссис Хадсон и доктор Ватсон загадали по натуральному числу. Каждый из них посчитал сумму всех делителей своего числа (включая 1 и само число) и сумму чисел, обратных к делителям. Когда Шерлок Холмс узнал, что и первые, и вторые суммы его друзей совпали, он сразу догадался, что миссис Хадсон и доктор Ватсон загадали одно и то же число. Докажите, что Шерлок Холмс прав.

[wpoms.]

Муниципальный этап 2013-14 г.г.

10 класс

1. Парабола `у =ах^2` высекает на прямых `у =1`, `у =2`, `у =3` три отрезка. Докажите, что из этих отрезков можно сложить прямоугольный треугольник.

2. Найдите количество различных расстановок в ряд всех натуральных чисел от 1 до 10 таких, что сумма любых трех подряд идущих чисел делится на 3.

3. Найдите наименьшее натуральное число, делящееся на 99, все цифры которого четны.

4. В четырех клетках квадрата 5 х 5 записаны четыре числа, как показано на рисунке. Расставьте в свободных клетках квадрата еще 21 число так, чтобы пять чисел каждой строки и пять чисел каждого столбца были последовательными членами соответствующих арифметических прогрессий.


5. Известно, что длины сторон треугольника - последовательные натуральные числа, а радиус его вписанной окружности равен 4. Найдите радиус описанной окружности этого треугольника.

[wpoms.]

Муниципальный этап 2013-14 г.г.

11 класс

1. Найдите все такие пары вещественных чисел `x` и `у` (`у !=0`), что числа `x+1/y`, `2x+1/y^2`, `3x+1/y^3` являются последовательными натуральными числами (именно в таком порядке).

2. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием АС угол между биссектрисой и высотой, проведенными из вершины А, равен 60 градусам. Найдите углы треугольника ABC.

3. Найдите все тройки различных простых чисел, попарные разности которых (из большего числа вычитается меньшее) - также три простых числа.

4. Пусть `alpha`, `beta`, `gamma` - плоские углы трехгранного угла. Докажите, числа `sin alpha/2` , `sin beta/2` , `sin gamma/2` являются длинами сторон некоторого треугольника.

5. По кругу в некотором порядке записаны все натуральные числа от 1 до 100. Для каждой пары соседних чисел подсчитана сумма. Из ста полученных чисел какое максимальное количество может делиться на 7?

[wpoms.]

Муниципальный этап 2016-17 г.г.

[wpoms.]

Муниципальный этап 2018 г.