[wpoms.]

Всероссийская олимпиада школьников. Тверская область Задания 2013/14 у.г.

@темы: Олимпиадные задачи

Comments

[wpoms.]

Муниципальный этап 2013-14 г.г.

7 класс

1. Найдите какие-нибудь три последовательных натуральных числа, меньших 1000, произведение которых делится на 9999.

2. Одно из измерений прямоугольника увеличили на 99 см, а другое – уменьшили на 1 см, и получили новый прямоугольник. Можно ли утверждать, что площадь прямоугольника увеличилась? Ответ обоснуйте.

3. В конце каждого урока физкультуры учитель проводит забег и даёт победителю забега четыре конфеты, а всем остальным ученикам – по одной. К концу четверти Петя заслужил 29 конфет, Коля – 32, а Вася – 37 конфет. Известно, что один из них пропустил ровно один урок физкультуры, участвуя в олимпиаде по математике, остальные же уроков не пропускали. Кто из детей пропустил урок? Объясните свой ответ.

4. Одиннадцать семиклассников встали в круг. Они договорились, что некоторые из них всегда говорят правду, а все другие – всегда лгут. Каждому из них раздали по две карточки, и каждый сказал: «У меня карточки одного цвета», после чего каждый передал обе свои карточки своему соседу справа. Могли ли они все после этого сказать: «У меня теперь карточки разных цветов»?

5. На шахматной доске расставлено 8 ладей, не бьющих друг друга. Докажите, что в левой нижней четверти (квадрат 4×4) находится столько же ладей, сколько в правой верхней четверти.

[wpoms.]

Муниципальный этап 2013-14 г.г.

8 класс

1. Если в произведении двух чисел первый множитель увеличить на 1, а второй уменьшить на 1, то произведение увеличится на 2013. Как изменится произведение исходных чисел, если, наоборот, первый множитель уменьшить на 1, а второй увеличить на 1?

2. Перемножили несколько натуральных чисел и получили 224, причем самое маленькое число было ровно вдвое меньше самого большого. Сколько чисел перемножили?

3. Прогульщик Вася в каждый понедельник сентября некоторого года пропускал по одному уроку, в каждый вторник – по два урока, в каждую пятницу – по пять уроков. Могло ли оказаться так, что за весь сентябрь он пропустил ровно 64 урока? (Все субботы и воскресенья сентября были выходными, а остальные дни – учебными).

4. Существует ли равнобедренная трапеция, диагональ которой делит ее на два равнобедренных треугольника?

5. На шахматной доске расставлены 8 ладей так, что они не бьют друг друга. Докажите, что на полях белого цвета расположено чётное число ладей.

[wpoms.]

Муниципальный этап 2013-14 г.г.

9 класс

1. Ненулевые числа x, y, z, t таковы, что `(x+1/(yzt))(y+1/(xzt))(z+1/(yxt))(t+1/(yzx)) > 0 `. Доказать, что xyzt>0.

2. Из произведения трех последовательных натуральных чисел вычли их сумму и получили нечетное число N . Докажите, что число N является произведением каких-то трех последовательных нечетных чисел.

3. Учитель дал задание: использовав ровно по одному разу цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, написать несколько простых чисел и найти их сумму. Какое наименьшее значение этой суммы могло получиться у учеников?

4. В треугольнике ABC угол С равен 135°. На стороне AB вне треугольника построен квадрат с центром О. Найдите ОС, если AB = 6.

5. На городской олимпиаде по математике каждому участнику присваивается шифр – произвольное число, оканчивающееся номером класса, в котором он учится. В олимпиаде по 6 и 7 классам приняли участие 75 детей, и оказалось, что сумма шифров шестиклассников равна сумме шифров семиклассников. На следующий год в олимпиаде по 7 и 8 классам приняли участие эти же 75 ребят. Могут ли суммы шифров этих теперь уже семи- и восьмиклассников опять оказаться равными? Обоснуйте свой ответ. (Шифры следующего года не связаны с шифрами предыдущего).

[wpoms.]

Муниципальный этап 2013-14 г.г.

10 класс

1. Известно, что уравнение `x^4 + a = 0` (`x` – переменная, `а` – некоторое число) имеет два различных корня. Сколько корней имеет уравнение `x^4 + a = x^2`?

2. Числа написаны в строчку, причём сумма любых трёх стоящих рядом чисел отрицательна, а сумма любых четырёх стоящих рядом чисел положительна. При каком наибольшем количестве чисел такое возможно?

3. Найдите все тройки различных простых чисел, попарные разности которых (из большего числа вычитается меньшее) – также три простых числа.

4. Какое наибольшее количество фишек можно поставить на шахматную доску, чтобы любая фишка могла перепрыгнуть через какую-то другую фишку на симметричное поле (симметричное поле должно быть свободным).

5. На сторонах BC и BA треугольника ABC выбраны точки A1 и C1 соответственно так, что /_BAA1 = /_BCC1 . Биссектриса BL треугольника ABC пересекает отрезок A1C1 в точке K . Докажите, что A1K·CL= C1K ·AL.

[wpoms.]

Муниципальный этап 2013-14 г.г.

11 класс

1. Докажите, что для любых действительных чисел `x` и `y` выполнено неравенство `x^2+y^2+1 >= xy+x+y.

2. Бесконечная арифметическая прогрессия, состоящая из натуральных чисел, содержит число `a` и его квадрат. Докажите, что она также содержит и куб числа `a`.

3. Квадратный трёхчлен f (x) таков, что каждое из уравнений f (x) = x-1 и f (x) = 2-2x имеют ровно по одному решению. Докажите, что трёхчлен f (x) не имеет корней.

4. Пусть α, β, γ – плоские углы трехгранного угла. Докажите, что числа sin α/2, sin β/2, sin γ/2 являются длинами сторон некоторого треугольника.

5. В клетках квадрата 7×7 расставлены действительные числа. Оказалось, что сумма чисел в любом трёхклеточном уголке (повёрнутом как угодно) положительна. Обязательно ли сумма чисел во всем квадрате также положительна?

[Гость]

Гулевич С. А. Тверские городские математические олимпиады 2001-2009 годов / С.А. Гулевич. - Тверь: Тверская областная типография, 2010 - 80 с.: ил.

В этот сборник включены задачи тверских городских математических олимпиад, проводившихся с 2001 по 2009 года. Большинство из этих задач заимствовано из разных сборников, однако указать автора каждой задачи не представляется возможным. В подборке задач принимали участие преподаватели ТвГУ А.И.Гусев и В.И.Охота а также учителя математики Б.И.Ольшанский, А.А.Сахаров, Г.В.Савенков, С.А. Иванов. Все задачи снабжены решениями, по большей части краткими. Сборник предназначен как для учителей математики, так и для «продвинутых» школьников, желающих самостоятельно готовиться к математическим олимпиадам разного уровня.

matem-tver.3dn.ru

[Гость]

Пишет  wpoms.:

02.01.2019 в 17:49

2018

---

URL комментария