[wpoms.]

Всероссийская олимпиада школьников. Омская область Задания 2013/14 у.г., 2016/17

@темы: Олимпиадные задачи

Comments

[wpoms.]

Муниципальный этап 2013-14 г.г.

6 класс

1. На базаре меняют 10 вершков на 3 корешка, а один корешок на 3 вершка и 5 копеек. Сколько стоит корешок?

2. В турнире по шахматам участвовали два шестиклассника и три семиклассника. В каждой игре встречались шестиклассник и семиклассник. Сначала Артем выиграл у Вадима, затем Максим у Игоря, а Артем у Бориса, и, наконец, Борис выиграл у Максима. Как зовут шестиклассников? Объясните свой ответ.

3. Призвал к себе царь троих сыновей и говорит: «Вот, сыны мои, план царства нашего. Цифрами на плане обозначены серебряные рудники. Я уже придумал, как разделить между вами землю на три одинаковые части так, чтобы каждому досталось по руднику. Только не могу сестрицу вашу без приданого оставить!» Молвил тогда младший сын Иван: «А ты, батюшка, отдай за сестрицей все рудники, а я, уж, остальную землю смогу разделить на три одинаковые части!» Покажите, как планировал разделить землю царь, и как разделил Иван.


4. Папа Карло изготавливает детские конструкторы. Из 12 одинаковых деревянных кубиков он склеивает четыре детальки по 3 кубика. Буратино красит детальки, расходуя на каждый набор 84 г краски. Когда остались последние 12 кубиков, Буратино сказал, что ему не хватит 9 г краски. Тогда папа Карло склеил из оставшихся кубиков 3 детальки по четыре кубика, и краски хватило, причём лишней краски не осталось. Как выглядят детали, сделанные папой Карло? Объясните, почему Ваш пример отвечает условию задачи.

5. Можно ли, используя каждую из десяти цифр ровно один раз, записать натуральное число и его квадрат?

[wpoms.]

Муниципальный этап 2013-14 г.г.

7 класс

1. Раскрасьте клетки доски 3x3 в 3 цвета так, чтобы выполнялись два условия: а) клеток всех цветов поровну б) в каждой строке или столбце были клетки не более чем двух цветов.

2. Семиклассник Семён получил задание: придумать правильную дробь, обладающую следующим свойством. При увеличении её числителя на 1 получается то же самое число, которое получается при уменьшении на 1 её знаменателя. Он придумал не одну, а десять таких дробей. А вы сможете?

3. Бочку можно наполнить, если налить в неё 6 маленьких, 3 средних и 1 большое ведро воды или 2 маленьких, 1 среднее и 3 больших ведра. Сколько больших вёдер потребуется для наполнения бочки?

4. Можно ли, используя каждую из десяти цифр ровно один раз, записать натуральное число и его квадрат?

5. Делитель натурального числа называется собственным, если он отличен от 1 и самого числа. Например, у простых чисел собственных делителей нет, а у числа 6 два собственных делителя 2 и 3. Натуральное число называется интересным, если у числа, на единицу меньшего, наименьший собственный делитель тоже на единицу меньше. Сколько существует трёхзначных интересных чисел?

[wpoms.]

Муниципальный этап 2013-14 г.г.

8 класс

1. Два числа подобраны так, что и разность их квадратов, и квадрат их разности равны 1. Какие значения может принимать сумма этих чисел? Найдите все возможные значения, и докажите, что другие значения невозможны.

2. В тридевятом царстве введена новая денежная единица тугрик. Монетный двор хочет выпустить всего шесть видов монет так, чтобы любую сумму от 1 до 20 тугриков можно было набрать одной или двумя монетами. Какие монеты надо выпускать?

3. Петя и Вася выполняли тест по математике. Петя ответил правильно на 80% всех вопросов, а Вася ответил правильно ровно на 35 вопросов. Число вопросов, на которые правильно ответили оба, составляет ровно половину от числа всех вопросов. На 7 вопросов не ответил никто. Сколько вопросов содержал тест?

4. На отрезке АС отмечена точка В. По одну сторону от отрезка АС построены равнобедренные треугольники АВР и ВСМ с основаниями AB и BС соответственно, и углами 120 градусов при вершинах P и M. По другую сторону от этого отрезка построен равнобедренный треугольник АСК с основанием АС и углом 120 градусов при вершине К. Докажите, что СК=АР+СМ.

5. Можно ли раскрасить клетки доски 9x9 в 3 цвета так, чтобы выполнялись два условия: а) клеток всех цветов поровну б) в каждой строке или столбце были клетки не более чем двух цветов?

[wpoms.]

Муниципальный этап 2013-14 г.г.

9 класс

1. В десятичной записи трёхзначного числа все цифры различны. После умножения этого числа на 2 снова получается число, в записи которого все цифры различны. Может ли сумма цифр первого числа быть в 2 раза больше суммы цифр второго числа?

2. Девятиклассник Дима придумал правильную дробь, обладающую следующим свойством. При увеличении её числителя на 1 получается то же самое число х, которое получается при уменьшении на 1 её знаменателя. Найдите все возможные значения х и докажите, что других не бывает.

3. Делитель натурального числа называется собственным, если он отличен от 1 и самого числа. Например, у простых чисел собственных делителей нет, а у числа 6 два собственных делителя 2 и 3. Натуральное число А называется интересным, если его наименьший собственный делитель на 1 больше наименьшего собственного делителя числа А–1. Докажите, что произведение двух интересных чисел есть число интересное.

4. Через концы диаметра AB некоторого круга проведены секущая BM и касательная AM. P – вторая точка пересечения отрезка BM с кругом. В точке P проведена касательная к кругу, пересекающая отрезок AM в точке N. Докажите, что треугольник PNM равнобедренный.

5. Для положительных чисел a, b выполнено равенство `1/(a^2+4b+4)+1/(b^2+4a+4)=1/8`. Докажите, что `a+b <= 4`.

[wpoms.]

Муниципальный этап 2013-14 г.г.

10 класс

1. В десятичной записи трёхзначного числа все цифры различны. После умножения этого числа на 2 снова получается число, в записи которого все цифры различны. Может ли сумма цифр первого числа быть в 2 раза больше суммы цифр второго числа?

2. Мама купила одинаковое количество шоколадных конфет и карамелек. Жадный Витя и голодная Маша рассовали все конфеты к себе в карманы. Оказалось, что доля карамелек у Вити такая же, как и у Маши. Докажите, что им досталось одинаковое число конфет.

3. Точные квадраты натуральных чисел нанесены на числовую прямую: 1, 4, 9, 16 и т.д. Простое число р попадает в интервал между двумя квадратами так, что расстояние до левого конца этого интервала на 1 меньше расстояния до правого конца. Найдите все возможные значения р и докажите, что других не бывает.

4. Диагонали AD, BE, CF выпуклого шестиугольника ABCDEF пересекаются в точке K. Оказалось, что BA = BC = BK, DC = DE = DK, FA = FE = FK. Докажите, что около шестиугольника можно описать окружность.

5. В теннисном турнире принимали участии 14 теннисистов. Каждый сыграл с каждым ровно один раз. Докажите, что можно выбрать трёх спортсменов так, чтобы каждый из оставшихся одиннадцати спортсменов проиграл хотя бы одному из этих трёх. Ничьих в теннисе нет.

[wpoms.]

Муниципальный этап 2013-14 г.г.

11 класс

1. Три числа подобраны так, что сумма любого числа из этой тройки и произведения двух оставшихся чисел равна 0. Чему может быть равна сумма этих трёх чисел. Найдите все возможные значения и докажите, что других быть не может.

2. В тридевятом царстве введена новая денежная единица тугрик. Монетный двор хочет выпустить всего шесть видов монет так, чтобы любую сумму от 1 до 20 тугриков можно было набрать одной или двумя монетами. Можно ли так сделать?

3. Две подружки Аня и Маша пошли в магазин. Аня заплатила за 2 мыла и 3 шампуня больше 100 рублей, а Маша заплатила за 4 мыла и 5 шампуней меньше 180 рублей. Что дороже: мыло или шампунь?

4. Докажите, что для любого натурального числа `b` найдется натуральное число `a` такое, что `a` и `b` взаимно просты, а число `a+b^2` – составное.

5. На отрезке АС отмечена точка В. По одну сторону от отрезка АС построены равнобедренные треугольники АВР и ВСМ с углами 120 градусов при вершине. По другую сторону от этого отрезка построен равнобедренный треугольник АСК с таким же углом при вершине. Докажите, что треугольник КРМ равносторонний.

[Гость]

---

Муниципальный этап 2016-17 г.г.

---

[Гость]

Муниципальный этап 2017-18 г.г.

[wpoms.]

2018