Всероссийская олимпиада школьников. Брянская область [изображение] Задания 2013/14 у.г., 2016/17 у.г., [изображени...

08.01.2014 в 14:13

Step by step ... Informazioni sulle gare, come allenarsi, chi corrompere.

Муниципальный этап 2013-14 г.г.

7 класс

1. Петя тратит 1/3 своего времени на занятия в школе, 1/4 - на игру в футбол, 1/5 – на занятия музыкой, 1/6 – на компьютер, 1/7 – на решение задач по математике. Можно ли так жить?

2. Узнайте, через сколько минут после того, как часы показали ровно 4 часа минутная стрелка догонит часовую.

3. В вершинах треугольника записаны числа 1, 2, 3. Затем каждое из чисел одновременно заменили на сумму двух соседних. Эту операцию проделали ещё некоторое количество раз. Могла ли сумма получившихся в итоге трех чисел оказаться равной 3000000?

4. Для каждого двухзначного числа из цифры десятков вычли цифру единиц и все получившиеся результаты сложили. Чему равна сумма?

5. Коля, Боря, Вова и Юра заняли первые четыре места в соревновании, причем никакие два мальчика не делили между собой какие-нибудь места. На вопрос, кто какое место занял, Коля ответил: «Ни первое, ни четвертое»; Боря сказал: «Второе», а Вова заметил, что он был не последним. Какое место занял каждый из мальчиков?

URL

08.01.2014 в 14:13

wpoms.

Step by step ... Informazioni sulle gare, come allenarsi, chi corrompere.

Муниципальный этап 2013-14 г.г.

8 класс

1. В числовом ребусе ДОМ ─ КОТ = СС разным буквам соответствуют разные цифры, одинаковым - одинаковые. Найдите О, если известно, что число ДОМ самое большое из возможных.

2. На реке расположено два острова А и В. Туристы, отправившись от острова А желают попасть на остров В, побывав поочередно на обоих берегах реки. Как они должны проложить маршрут, чтобы путь имел наименьшую длину (берега реки считать параллельными прямыми, а острова А и В точками)?

3. Угол между двумя высотами остроугольного треугольника равен 60 градусам, и точка пересечения высот делит одну из них в отношении 2:1, считая от вершины треугольника. Докажите, что треугольник АВС─ равносторонний.

4. Известно, что a + b + c + d = 6. Может ли сумма ab + ас + аd + bc + bd + cd равняться 18?

5. После игры в футбол (два тайма) ребята делились впечатлениями. Петя: «Я забил на один гол больше, чем все остальные, вместе взятые». Миша: «Во втором тайме было забито вдвое больше голов, чем в первом». Олег: «Из всех мячей, забитых в первом тайме, я забил половину». Мог ли каждый из них сказать правду?

URL

08.01.2014 в 14:14

wpoms.

Step by step ... Informazioni sulle gare, come allenarsi, chi corrompere.

Муниципальный этап 2013-14 г.г.

9 класс

1. Сколько целых решений имеет уравнение x(x+1) + (x+1)(x+2) + … + (x+9)(x+10) = 1000x + 2013?

2. На доске была написана обыкновенная несократимая дробь, числитель и знаменатель которой – целые положительные числа. К ее знаменателю прибавили числитель, получилась новая дробь. К числителю новой дроби прибавили ее знаменатель, получилась третья дробь. Когда к знаменателю третьей дроби прибавили числитель, получилось 13/23. Какая дробь была написана на доске?

3. Два поселка `A` и `B` , находящиеся по одну сторону от прямолинейной железной дороги, удалены от нее на расстояния соответственно 15 и 24 км. Пусть `A_1` и `B_1` - точки на железной дороге, ближайшие к поселкам A и B соответственно, и пусть `A_1B_1` = 52 км. На железной дороге надо построить станцию `C` так, чтобы сумма расстояний `AC` и `+CB` была бы минимальной. Каково должно быть это значение?

4. Упростить выражение `((|x-1|)/(x-1)*x^2 - 2x*(|x+1|)/(x+1) + 2x - 4):|x-2|`.

5. M, D, S, E, K сидят на скамейке в парке. М не сидит справа на краю, а D не сидит слева на краю. S не сидит на краю. K не сидит рядом с S, а S не сидит рядом с D. E сидит справа от D, но не обязательно рядом. Кто сидит крайним справа?

URL

08.01.2014 в 14:14

wpoms.

Step by step ... Informazioni sulle gare, come allenarsi, chi corrompere.

Муниципальный этап 2013-14 г.г.

10 класс

1. Графики функций `y = x^2 + ax + b` и `y = x^2 + cx + d` пересекаются в точке с координатами (1; 1) . Сравните `a^5 + d^6` и `c^6 - b^5`.

2. Сумма цифр натурального числа `m` равна `30`. Может ли сумма цифр числа `(m+3)` равняться `21`?

3. Высоты остроугольного треугольника `ABC`, проведенные из вершин `B` и `C`, продолжили до пересечения с описанной окружностью в точках `B_1` и `C_1`. Оказалось, что отрезок `B_1C_1` проходит через центр описанной окружности. Найдите угол `BAC`.

4. Составить две прогрессии: арифметическую и геометрическую, каждую из четырёх членов; при этом, если сложить одноимённые члены обеих прогрессий, то должны получиться числа: 27, 27, 39, 87.

5. Существуют ли многоугольники, у которых число диагоналей равно числу сторон?

URL

08.01.2014 в 14:15

wpoms.

Step by step ... Informazioni sulle gare, come allenarsi, chi corrompere.

Муниципальный этап 2013-14 г.г.

11 класс

1. Найдите, при каких значениях острого угла `alpha` уравнение `(2cosalpha -1)x^2 - 4x + 4cosalpha + 2 = 0` будет иметь два действительных положительных корня?

2. Корни квадратного уравнения `5x^2 - 3x + c = 0` - числа `sin a` и `cos a` (где `a` – некоторый угол); других корней у уравнения нет. Чему равно `c`?

3. Пять целых чисел написали по кругу так, что сумма никаких двух или трёх расположенных подряд не делится на 3. Сколько среди этих пяти чисел таких, которые делятся на 3?

4. Дан правильный тетраэдр `SABCD`, объем которого равен `V`. На ребрах `SA` и `SB` взяты их середины `D` и `E`, а на ребре `SC` взята точка `F` такая, что `SF : FC = 1 : 3`. Найдите объем пятигранника `DEFABC`.

5. Квадрат 4x4 разделили на 16 единичных квадратов. Найти максимально возможное количество диагоналей, которые можно провести в этих единичных квадратах так, чтобы они не имели общих точек (включая концы).

URL

15.04.2017 в 21:10

wpoms.

Step by step ... Informazioni sulle gare, come allenarsi, chi corrompere.

Муниципальный этап 2016-17 г.г.

URL

10.12.2017 в 07:48

All_ex

Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40

Пишет родина1:
Условия и решения задач
(районная математическая олимпиада 2017 г.) Брянская область
9 - 11 класс

URL

10.12.2017 в 22:01

Гость

Условия и решения задач
(районная математическая олимпиада 2017 г.)

7 класс

1. Произведение цифр некоторого трехзначного числа XYY есть двузначное число XZ. Произведение цифр этого числа XZ равно Z (здесь, как в математических ребусах, цифры в записи числа заменены буквами; одинаковым буквам соответствуют одинаковые цифры, разным – разные). Найдите исходное число.
Решение. Из условия задачи видно, что X⋅Z = Z, значит, X = 1 или Z =0.
Первый случай: X = 1. Тогда X⋅Y⋅Y=Y2=1Z, но есть только один квадрат между 10 и 20 – это 16, т.е. Z=6. Откуда Y=4. Т.е. исходное число 144: X=1, Y=4, Z=6.
Второй случай: Z =0. Тогда X⋅Y⋅Y =X0=10X. Т.к. X – первая цифра, то X0, можем сократить на X. Получим Y2 = 10 – нет решения. Таким образом, ответ единственный.
Ответ: 144.

2. Стакан спирта вылили в банку с водой. Получился 10-процентный раствор спирта в воде. Затем добавили в раствор ещё два таких же стакана спирта. Какова доля спирта в получившемся растворе?
Решение. После первого вливания в банке оказался 10-процентный раствор, то есть на 9 частей (90%) воды приходилась одна часть (10%) спирта. Потом к имеющейся жидкости добавили два таких же стакана, то есть ещё две части. Получили 9 частей воды и 3 части спирта. Значит, доля спирта в таком растворе равна = или 25%
Ответ: .

3. Есть чашечные весы без гирь и 4 золотых слитка, имеющие разную массу. Сколько взвешиваний потребуется, чтобы найти минимальный и максимальный по массе слиток? Определите минимальное число взвешиваний.
Решение. Минимальное число взвешиваний 4. Покажем, как это сделать. Разобьём слитки на две пары и сравним слитки в каждой паре. После этого сравним друг с другом два «тяжёлых» и два «лёгких» слитка.
Ответ: 4.

4. Найдите все целые числа x и y такие, что 3x + 5y = xy.
Решение. Первый способ. Преобразуем уравнение 3x + 5y = xy к виду 3x = y(x – 5). При x = 5 это равенство не выполняется, поэтому в дальнейшем можно считать, что x ≠ 5. Тогда данное уравнение равносильно уравнению y = 3x/(x – 5), или y = (3(x – 5) + 15)/(x – 5), т.е. y = 3 + 15/(x – 5).
По условию задачи, x и y — целые числа, поэтому дробь 15/(x – 5) должна быть целым числом. Это возможно тогда и только тогда, когда 15 делится на x – 5, т.е. величина x – 5 принимает одно из восьми значений: ±1, ±3, ±5, ±15. Тогда x принимает одно из восьми значений: 20, 10, 8, 6, 4, 2, 0, -10. По каждому из этих значений x найдем соответствующее значение y по полученной ранее формуле y = 3 + 15/(x – 5). Таким образом, мы нашли все 8 пар (x; y), являющихся решениями исходного уравнения.
Второй способ.
3x + 5y = xy ⇔ xy – 3x = 5y ⇔ x(y – 3) = 5y ⇔ x(y – 3) = 5(y – 3) + 15 ⇔ (x – 5)(y – 3) = 15. Поскольку x, y – целые числа, то и x – 5, y – 3 – целые. Таким образом, необходимо представить число 15 в виде произведения двух целых чисел. Учитывая равенства 15 = 1•15 = 3•5 и то, что в этих равенствах можно менять порядок множителей, а также то, что множители могут быть отрицательными, получаем восемь вариантов: 15 = 1•15 = 15•1 = 3•5 = 5•3 = (–1)•(–15) = (–15) • (–1) = (–3)•(–5) = (–5)•(–3). Другие разложения числа 15 на два целых множителя невозможны.
Для каждого из этих вариантов найдем соответствующие значения x и y. Например, для первого варианта имеем: x – 5 = 1, y – 3 = 15. Следовательно, x = 6, y = 18.
Аналогично найдем x и y в остальных вариантах.
Ответ: (x;y) ∈ { (20;4), (10;6), (8;8), (6;18), (4; -12), (2; -2), (0;0), (-10;2)}.

5. Плоскость раскрасили в два цвета. Докажите, что найдутся две точки одного цвета, расстояние между которыми равно 2017.
Решение.
1-й способ. Рассмотрим правильный треугольник со стороной 2017. Все три его вершины не могут быть разного цвета, поэтому две вершины имеют один цвет; расстояние между ними равно 2017.
2-й способ. Берем точку определенного цвета, например, красного цвета. Начертим окружность радиуса 2017 с центром в выбранной точке. Если на окружности есть хотя бы одна красная точка, то вместе с центром она и даст нужную пару. Если на окружности нет красных точек, то все точки окружности одного цвета (например, синего). Берем любую точку окружности и, радиусом 2017 делая засечку на этой же окружности, получим вторую точку.
Что и требовалось доказать.

URL

10.12.2017 в 22:07

Гость

Условия и решения задач
(районная математическая олимпиада 2017 г.)

8 класс

1. Волк и Заяц в одно и то же время выехали на прогулку за город. За время прогулки они проехали одинаковые расстояния и вернулись назад одновременно. При этом каждый из них останавливался и отдыхал. Известно, Заяц отдыхал по времени в 2 раза меньше, чем Волк двигался. Волк отдыхал в 3 раза меньше времени, чем двигался Заяц. Кто из них во время прогулки двигался быстрее?
Решение. Волк: 2х часов - время на езду, у часов - время на отдых. Заяц: 3у часов - время на езду, х часов - время на отдых. Учитывая, что продолжительности прогулок одинаковые, имеем уравнение: 2х + у = 3у + х; х = 2у. Значит, Заяц отдыхал в два раза больше времени, чем Волк. Следовательно, он двигался быстрее Волка.
Ответ: Заяц.

2. Из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 составили всевозможные девятизначные числа, в записи которых цифры не повторяются. Найдите наибольший общий делитель данных чисел.
Решение. Во-первых, заметим следующее: сумма всех цифр 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45 – число, делящееся на 9, значит любое число, составленное из этих цифр будет делиться на 9. Теперь заметим, что среди рассматриваемых чисел есть числа 987654321 и 987654312, разность между которыми равна 987654321 − 987654312 = 9. Два числа, отличающиеся на 9 не могут делиться на число, большее 9, одновременно, значит НОД всех чисел не может быть больше.
Ответ: 9.

3. Пластиковая палочка горит 20 минут. У Марины есть 2 такие палочки. Скорость горения каждой палочки разная в разных местах. Как отмерить этими палочками ровно 15 минут?
Решение.

4. Выписали все четырёхзначные числа, цифра единиц которых равна 0 или 5. В записи каждого числа есть хотя бы одна цифра 5. Сколько выписали чисел?
Решение. Подсчитаем отдельно количества чисел, содержащих в записи пятёрку, оканчивающихся на 5 и на 0.
Если число оканчивается на 5, то оно уже содержит пятёрку, нам надо вычислить количество четырёхзначных чисел вида ***5. В этой записи *** можно считать трёхзначным числом, то есть числом от 100 до 999. Таких чисел 999 − 99 = 900 (от чисел от 1 до 999 вычитаем числа от 1 до 99).
Теперь выясним, сколько существует четырёхзначных чисел, оканчивающихся на 0 и содержащих пятёрку. В числе ***0 пятёрка может стоять на одном из трёх мест:
**50 *5*0 5**0
Подсчитаем количество чисел каждого вида:
**50: первая цифра принимает значения от 1 до 9 (9 вариантов), вторая − от 0 до 9 (10 вариантов). Каждый вариант выбора первой цифры позволяет выбрать любой из вариантов для второй, значит общее количество равно 9×10 = 90.
*5*0: первая цифра принимает значения от 1 до 9 (9 вариантов), третья − от 0 до 9 (10 вариантов). Ситуация такая же, как в первом варианте, общее количество чисел равно 90.
5**0: обе выбираемые цифры стоят не в начале числа, значит принимают значения от 0 до 9, общее количество вариантов: 10×10 = 100.
Сложим количества в трёх вариантах: 90 + 90 + 100 = 290. Это не правильное значение количества чисел, так как некоторые числа были подсчитаны 2 раза. Например, число 5150 (как и все числа 5*50) вошло как в первое, так и в третье слагаемое. Вычислим количество чисел, которые были подсчитаны дважды. Это числа, содержащие две пятёрки:
55*0: на место звёздочки можно поставить любую цифру от 0 до 9 (10 вариантов).
5*50: тоже 10 вариантов.
*550: теперь вместо звёздочки можно поставить только цифры от 1 до 9 (9 вариантов).
Общее количество чисел 10 + 10 + 9 = 29. Вычитаем это значение из 280: 280 − 29 = 251. Теперь мы переусердствовали, вычитая. Ещё есть число 5550, в котором три пятёрки, оно было подсчитано во всех трёх вариантах и три же раза вычтено. Поэтому надо добавить ещё один вариант. Точное значение есть 251 + 1 = 252.
Сложим теперь значения, полученные для разных последних цифр: 900 + 252 = 1152.
Ответ: 1152.

5. Плоскость окрашена в два цвета. Докажите, что найдутся две точки на расстоянии 2017 метров: a) разных цветов; b) одного цвета.
Решение. a) 1. Нарисуем на плоскости в любом месте равносторонний треугольник со стороной 2017 метров. Пусть точка A чёрная. Есть два варианта: если среди точек B и C есть точка того же цвета, тогда нужным нам отрезком окажется AB или AC. Если же чёрной точки среди B и C нет, обе эти точки белые, и сам отрезок BC будет иметь на концах точки одного цвета.
a) 2. Рассмотрим правильный треугольник со стороной 2017 метров. Некоторые две из его вершин имеют одинаковый цвет (согласно принципу Дирихле).
b) Выберем две точки A и B разного цвета и пройдём из A в B шагами длины 2017 м. Это можно сделать, например, идя от A к B по прямой с шагом 2017 м. Если же для последнего шага останется отрезок CB короче 2017 м, то построим равнобедренный треугольник CDB со сторонами CD = DB = 2017 м и сделаем вместо шага CB два шага: CD и DB. Проследим за цветом точек, по которым шагаем. На каком-то шаге цвет сменится. Начало и конец шага и дадут искомые точки.
Что и требовалось доказать.

URL