Всероссийская олимпиада школьников. Ростовская область [изображение] Задания 2012/13, 2013/14 у.г., 2016/17 у.г., 20...

01.01.2014 в 21:54

Step by step ... Informazioni sulle gare, come allenarsi, chi corrompere.

Муниципальный этап 2012-13 г.г.

7 класс

Задача 1. Дан прямоугольник со сторонами 2 см и 3 см. Разрежьте его на три прямоугольника, сумма периметров которых равна 19 см? Нарисуйте чертёж и укажите размеры.

Задача 2. В картонной коробке лежат катушки с цветными нитками. Василий сказал: «В картонной коробке есть катушка с синими нитками». Николай сказал: «В картонной коробке есть катушка с зелёными нитками». Петр сказал: «В картонной коробке есть катушка с синими и катушка с зелёными нитками». Михаил сказал: «В картонной коробке есть две катушки с зелёными нитками». Как потом выяснилось, три человека сказали правду, а один — неправду. Кто он?

Задача 3. Три человека записали в своих блокнотах число `23456/12345` . Потом каждый из них стер некоторые цифры в числителе и знаменателе дроби. Удастся ли им таким образом получить тремя различными путями число `1/9`?

Задача 4. Можно ли провести на плоскости 2012 различных прямых так, чтобы каждая пересекала все остальные, кроме пяти?

Задача 5. Дано двадцать целых чисел от одного до двадцати. Можно ли покрасить каждое из этих чисел в один из трёх данных цветов таким образом, чтобы цвет суммы любых двух различных одноцветных чисел был не таким, как у слагаемых? (Все числа, большие 20, считаем покрашенными в четвёртый цвет.)

Танаис. Археологический музей-заповедник

URL

01.01.2014 в 22:43

wpoms.

Step by step ... Informazioni sulle gare, come allenarsi, chi corrompere.

Муниципальный этап 2012-13 г.г.

8 класс

Задача 1. Найдите самое большое целое число, у которого одна из его цифр равна сумме всех остальных и любые две его цифры не равны между собой.

Задача 2. Есть четыре монеты. Три монеты настоящие и имеют одинаковый вес. Четвертая монета является фальшивой и ее вес не равен весу настоящей. Весы могут определить точный вес лишь двух или большего числа монет. Точный вес одной монеты на весах невозможно определить. Как за 4 взвешивания наверняка найти фальшивую монету и определить, какие монеты легче, настоящие или фальшивые?

Задача 3. Дан прямоугольный треугольник, у которого высота, опущенная на гипотенузу, составляет четвертую часть от гипотенузы. Найдите острые углы треугольника.

Задача 4. Между городами X и Y через пролив Z курсируют с равными постоянными скоростями несколько паромов. Каждый паром стоит у каждого берега столько же времени, сколько тратит на переправу. Пассажир заметил, что паромы отправляются от каждого берега через равные промежутки времени, а его паром отправился ровно в тот момент, когда к одному из причалов прибыл паром с другого берега. Докажите, что число курсирующих на переправе паромов делится на 4.

Задача 5. Дано пятьдесят целых чисел от одного до пятидесяти. Можно ли покрасить каждое из этих чисел в один из четырёх данных цветов таким образом, чтобы цвет суммы любых двух различных одноцветных чисел был не таким, как у слагаемых? (Все числа, большие 50, считаем покрашенными в пятый цвет.)

Танаис. Археологический музей-заповедник. Башня поэтов

URL

01.01.2014 в 22:44

wpoms.

Step by step ... Informazioni sulle gare, come allenarsi, chi corrompere.

Муниципальный этап 2012-13 г.г.

9 класс

Задача 1. Требуется найти самое большое целое число, у которого все цифры различны, и одна из цифр равна произведению остальных.

Задача 2. Взяли первое и второе число. Третье число равно сумме первого и второго, четвертое получается, если сложить второе и третье и т.д. Оказалось, что сумма первых шести чисел равна 2012. Найдите пятое число.

Задача 3. На части плоскости начертили восемь непересекающихся квадратов и от каждого квадрата начертили по стрелочке к тем из остальных семи, которые не больше него. Всего получилось 29 стрелочек. Докажите, что среди начерченных квадратов есть равные.

Задача 4. В треугольнике MNP точка S — середина медианы MR, MR =NP, угол PNS равен 30 градусам. Докажите, что MPC =NS.

Задача 5. Каждое из натуральных чисел от одного до двенадцати нужно покрасить какой-нибудь цветом так, чтобы при сложении двух различных одноцветных чисел всегда получалась сумма, выкрашенная в другой цвет. Какое наименьшее число красок нужно для этого приобрести? (Все числа, большие 12, считаются неокрашенного цвета.)

Танаис. Археологический музей-заповедник. Башня поэтов

URL

01.01.2014 в 22:48

wpoms.

Step by step ... Informazioni sulle gare, come allenarsi, chi corrompere.

Муниципальный этап 2012-13 г.г.

10 класс

Задача 1. Дано число, у которого частное от деления целой части на дробную равно 2012. Найдите наименьшее такое число.(Целой частью числа х называется наибольшее целое число, не превосходящее х, дробной частью числа — разность между числом и его целой частью (например, целая часть числа 43,49 равна 43, а его дробная часть равна 0,49).)

Задача 2. В папке лежат три цветных листа бумаги. Антон сказал: «В папке есть алый лист». Борис сказал: «В папке есть фиолетовый лист». Владимир сказал: «В папке есть два фиолетовых листа». Григорий сказал: «В папке есть желтый лист». Дмитрий сказал: «В папке есть два желтых листа». Докажите, что как минимум два человека ошибаются.

Задача 3. На плоскости с декартовой системой координат прямую линию, заданную уравнением `y - ax - b = 0`, назовём замечательной, если она имеет ровно одну общую точку с графиком функции `y = x^2+bx+a`. Докажите, что на координатной плоскости можно найти две такие точки, что каждая замечательная прямая линия проходит через одну из них.

Задача 4. Верно ли, что все стороны треугольника длиннее, как минимум, двух из трёх отрезков, соединяющих вершины треугольника с центром вписанной окружности? Ответ обоснуйте.

Задача 5. На чистом листе бумаги записаны восемь натуральных чисел (среди которых могут быть и равные) и из каждого числа провели стрелочки к тем из остальных семи, которые на него делятся. Могло ли получиться ровно 50 стрелочек? Ответ обоснуйте.

Танаис. Археологический музей-заповедник
Посвятительный рельеф трифона сына Андромена. I - III вв. до н. э.

URL

01.01.2014 в 22:48

wpoms.

Step by step ... Informazioni sulle gare, come allenarsi, chi corrompere.

Муниципальный этап 2012-13 г.г.

11 класс

Задача 1. Дано число, у которого произведение его дробной части на его целую часть равно 2012. Найдите наименьшее такое число. (Целой частью числа a называется наибольшее целое число, не превосходящее a, дробной частью числа — разность между числом и его целой частью (например, целая часть числа 42,17 равна 42, а его дробная часть равна 0,17).

Задача 2. Дан прямоугольный треугольник. Произведение длин его сторон вдвое больше произведения длин его высот. Найдите произведение острых углов треугольника.

Задача 3. Можно ли в пространстве найти ровно шесть различных прямых так, чтобы существовали плоскости, содержащие и ровно одну, и ровно две, и ровно три и ровно четыре из данных прямых.

Задача 4. Дан многочлен второй степени `F(x)=x^2+3cx+c`. Известно, что `|с|>5` и `F(-2)F(2) > 0`. Докажите, что этот трехчлен не имеет корней, лежащих между числами `-2` и `2`.

Задача 5. Даны все целые числа от 2 до 200. Каждое такое число покрашено какой-нибудь краской так, чтобы цвет любого произведения двух сомножителей (не обязательно различных), покрашенных одной краской, не совпадал с цветом сомножителей. Какое наименьшее количество красок может быть использовано? (Все остальные числа считаются покрашенными одним другим цветом или бесцветными.)

Задача 6. Докажите, не используя таблиц значений тригонометрических функций и любых технических вычислительных средств, что `1/6 < sin 10^@ < 2/11`.

Старочеркасск. Воскресенский собор

URL

01.01.2014 в 22:55

wpoms.

Step by step ... Informazioni sulle gare, come allenarsi, chi corrompere.

Муниципальный этап 2013-14 г.г.

8 класс

1. На доске написано число 6. Разрешается дописать число равное квадрату уже написанного числа или равное сумме двух любых уже написанных. Может ли сумма всех чисел, написанных на доске, стать равной 2013?

2. Треугольник `ABC` – равнобедренный (`AB=BC`). Отрезок `AK` делит его на два равнобедренных треугольника с основаниями: `AB` и `KC`. Найдите угол `B`.

3. Изобразите множество точек плоскости, удовлетворяющих равенству `|x-1|+|y-1|=1`.

4. Является ли число `2013^2+2013^2 2014^2+2014^2` полным квадратом?

Старочеркасск. Храм Донской иконы Божьей Матери

URL

01.01.2014 в 22:59

wpoms.

Step by step ... Informazioni sulle gare, come allenarsi, chi corrompere.

Муниципальный этап 2013-14 г.г.

9 класс

1. Вкладчик вносит в банк некоторую сумму. Банк может либо увеличить текущую сумму счета на 17%, либо уменьшить на 17%. Может ли в результате нескольких таких операции на счету оказаться исходная сумма?

2. Садовник посадил деревья в несколько рядов по 4 дерева в каждом. При этом одно дерево осталось лишним. Тогда садовник посадил деревья в ряды по 5 штук. И снова одно дерево осталось лишним. Когда же при посадке в ряды по 6 опять одно дерево осталось лишним, садовник пересадил деревья в ряды по 7, и лишних деревьев не осталось. Какое наименьшее количество деревьев могло быть у садовника?

3. Докажите, что `x^2+y^2+1 >= xy+x+y` при любых `x` и `y`.

4. Через точку пересечения диагоналей трапеции проведена прямая, параллельная основаниям и пересекающая боковые стороны в точках E и F. Отрезок EF равен 2. Найдите основания, если их отношение равно 4.

5. На книжной полке стоят 30 томов советской энциклопедии. За одну операцию разрешается менять местами любые две соседних книги. За какое наименьшее число операций можно гарантированно выстроить все тома в правильном порядке (с первого по тридцатый слева направо) независимо от начального положения?

Таганрог. Памятник Каштанке

URL

01.01.2014 в 23:00

wpoms.

Step by step ... Informazioni sulle gare, come allenarsi, chi corrompere.

Муниципальный этап 2013-14 г.г.

10 класс

1. Вкладчик вносит в банк некоторую сумму. Банк может либо увеличить текущую сумму счета на 23%, либо уменьшить на 19%. Может ли в результате нескольких таких операции на счету оказаться исходная сумма?

2. На доске нарисован график функции `y=k/x` и шесть прямых, параллельных прямой `y=kx` (`k!=0`). Найдите произведение абсцисс всех двенадцати точек пересечения.

3. Сумма первых пяти членов геометрической прогрессии равна первому члену, умноженному на 5, а сумма первых пятнадцати членов равна 100. Найти сумму первого, шестого и одиннадцатого членов этой прогрессии.

4. Точка `M` расположена на диаметре `AB` окружности радиуса `10`. Точки `K` и `N` лежат на окружности в одной полуплоскости относительно `AB`, а `/_KMA = /_NMB = 60^@`. Найдите длину отрезка `KN`.

5. За круглым столом сидят 30 гномов. Каждый из них либо всегда говорит правду, либо всегда лжет. Известно, что среди двух соседей каждого лжеца есть ровно один лжец. При опросе 12 из гномов показали, что ровно один из их соседей - лжец, а остальные сказали, что оба соседа лжецы. Сколько лжецов сидит за столом?

Таганрог. Набережная

URL

01.01.2014 в 23:01

wpoms.

Step by step ... Informazioni sulle gare, come allenarsi, chi corrompere.

Муниципальный этап 2013-14 г.г.

11 класс

1. Известно, что `sin alpha + cos alpha = x`. Найти `sin^6 alpha + cos^6 alpha`.

2. На доске нарисован график функции `y=k/x` и 2013 прямых, параллельных прямой `y=kx` (`k != 0`). Найдите произведение абсцисс всех точек пересечения графиков данных функций.

3. Даны три целых числа `x`, `y`, `z`, удовлетворяющих уравнению `x^3 + y^3 = z^3`. Доказать, что хотя бы одно из них делится на `3`.

4. В некотором тетраэдре соединили середины противоположных ребер. Доказать, что сумма трёх полученных отрезков меньше половины суммы всех ребер тетраэдра.

5. Пусть заданы 2013 множеств, каждое из которых состоит из 45 элементов, причём объединение любых двух множеств содержит ровно 89 элементов. Сколько элементов содержит объединение всех этих 2013 множеств?

Таганрог.

URL

01.01.2014 в 23:02

wpoms.

Step by step ... Informazioni sulle gare, come allenarsi, chi corrompere.

Ростов-на-Дону. Фонтан. Скульптор Е.В. Вучетич. Парк им. Октябрьской революции

URL

06.01.2014 в 16:07

Гость

wpoms., А условие 4 задачи 11 класса правильное? Просто если посчитать F(2)=4+7c и F(-2)=4-5c, и решить (4+7c)(4-5c)>0, то решение этого неравенства: `(-4/7; 4/5)`, и `|c|` не больше 5

URL

06.01.2014 в 16:37

wpoms.

Step by step ... Informazioni sulle gare, come allenarsi, chi corrompere.

Гость, проверил по двум разным источникам. Условие воспроизведено без ошибок.

то решение этого неравенства: `(-4/7; 4/5)`, и `|c|` не больше 5
Составители это не учли и предполагали, что в решении будет использоваться т. Виета

URL