Задача Лапласа с неоднородными граничными условиями

[illuminates]

Здравствуйте, не могу найти константы в решении задачи Лапласа с неоднородными граничными условиями. Задача:

`DeltaU(r,varphi,z)=(1/r)(rU_r)_r+(1/r^(2))U_(varphi varphi)+U_(zz)`
`U(0,varphi,z)` - ограниченность
`U(r_0,varphi,z)=f(varphi)`
`U(r,varphi+2 pi,z)=DeltaU(r,varphi,z)`
`U(r,varphi,0)=f(varphi)`
`U(r,varphi,l)=f(varphi)`

где ` f(varphi)={(u_0in0 < varphi < pi),(-u_0inpi < varphi < 2pi):}`



Задача имеет цилиндрическую симметрию и решается методом редукции, т.е. 1) сначала условия по z выбираются однородными, остальные не меняются, и находится решение. 2) Затем однородными делаю условия только по r. Проблема в том,что в общем решении в п. 1) есть две неизвестные константы С и D, а граничное условие, которое можно применить - только одно. Оно конечно зависит от угла, но тогда и константы для каждой части должны быть разными (?).

Для п. 2) решение вообще получается тривиальным, т.к для нахождения собственных чисел (лямбда) нам остается использовать только модифицированную функцию Бесселя I. Но она имеет нуль только при нулевом аргументе, т.е лямбда = 0, или же константа при функции Бесселя = 0.

Другой путь решения, а именно, если при разделении переменных вместо +лямбда взять -лямбда, приведет также к тривиальному решению, но уже по z, как это видно из подобного решения:

@темы: Уравнения мат. физики

Comments

[vyv2]

см здесь otlichnica.diary.ru/p193171554.htm

[Гость]

`U(r,varphi+2 pi,z)=DeltaU(r,varphi,z)` - Достаточно странное граничное условие

[vyv2]

`U(r,varphi+2 pi,z)=DeltaU(r,varphi,z)` - Достаточно странное граничное условие

Это он хотел написать периодическое условие по `varphi quad quad U(r,varphi+2 pi,z)=U(r,varphi,z)`, но в этом случае хорошо бы добавить еще непрерывность нормальной составляющей (отсутствие простого и двойного слоев)