Производная сложной функции

[Tobu]

школа, 11 класс.

Никак не могу понять, как найти производную сложной функции.
Объясните на примере

Найти производную функции:
(2x-3)^5*(3x^2+2+1)

Заранее спасибо.

@темы: Производная

Comments

[Паломник Оптимизма!]

Сначала находится производная от "*", т.е. от произведения.

Как известно а*b= а'b + ab'

После этого нужно найти собственно а' и b'

а' у вас это скобка со степенью.

Сначала раскладывается степень - по формуле (a^b)' = b * a^(b-1)

После этого под степенью - 2x-3 раскладывается как (2x)' - 3' = 2

Затем все перемножается.

С b' - непонятка у вас 3х^2+2+1 = 3x^5 ?

Тогда производная будет 5*3x^4*3 = 15*3x^4

В итоге получим:

(2x-3)^5*(3x^2+2+1) = [(2x-3)^5]'*(3x^2+2+1) + (2x-3)[(3x^2+2+1)]' = 5 * (2x-3)^4 * 2 * 3x^5 + (2x-3) * 5 * 3x^4 * 3 = 10 * (2x - 3)^4 * 3x^4 + 15*3x^4



Ответ будет 10 * (2x - 3)^4 * 3x^4 + 15*3x^4

[Tobu]

Спасибо. Я поняла основную суть. (Я упустила один x, но это не имеет принципиального значения).

А как можно упростить выражение

10((2x-3)^4)*((3x^2)+2x+1))*((2x-3)^5)*(6x+2)



Кроме общего (2х-3) в упор ничего не вижу, а упрощать через него вроде бы и смысла нет.

[Паломник Оптимизма!]

Tobu Если упростить получится: 10 * [(2x-3)^9] * [(3x+1)^2] * (-24x^2 - 8x)

Т.е. я сложил степени у (2х-3) и (3x^2)+2x+1) разложил как (3x+1)^2 - 4х

А затем -4х домножил на последнюю скобку.

Хотя реально сократить только степени сложить.

[Tobu]

Убейте меня здесь и сейчас!!!

[Паломник Оптимизма!]

Tobu Это просто =) Пока =) Потом вообще швах будет )

[Tobu]

Я знаю, что просто, но я не понимаю. Потому и "башкой о камень".))))

[Паломник Оптимизма!]

Tobu могу обьяснить =)

Во всех производных мы сначала считаем такие действия как "*" и "/" - Для умножить я давал формулу а*b= а'b + ab'

A для a/b = (а'b - ab') / b^2

Разумеется если эти умножить и разделить не стоят в скобках.

После этого считаем степени по формуле (a^b)' = b * a^(b-1)

Затем считаем то что под степенью - если линейная фунция kx+b = k

Если sin x = cos x

cos x = -sin x

ln x = 1/x

e^x = e^x

x^a = a * x^(a-1) * x' (x' - это если там стоит просто х = 1 а если 2х то равно 2 и т.д.)

-=-

Ну вроде все - эт общие правила.

[Tobu]

Самое забавное, что все формулы и общие правила я знаю наизусть. Я принципа именно сложной функции не понимаю.



f(g(x))'=f'(g(x))g'(x)



Я могу понять, когда g совпадает, например

f(x)=((2x+1)^2)+(5(2x+1))



А когда

sqrt(3x+2)*((3x-1)^4)?

[Robot]

Давай отдельно рассмотрим функцию у=sqrt(3x+2).

Представь, что ты х заворачиваешь в одежки. Сначала умножаешь на 3, потом прибавляешь 2, затем берешь корень. Производную надо брать в обратной последовательности. Сначала берешь производную от корня. Она равна 1/(2*sqrt(3x+2)), умножаешь на производную от 3х+2,

(3х+2)`=3

В итоге получается, что производная от функции у=sqrt(3x+2)равна 3/(2*sqrt(3x+2))

Рассмотрим второй сомножитель у=(3x-1)^4. Опять - над х выполняли следующие действия: умножали на 3, вычитали 1, возводили что получится в 4 степень. Производная берется в обратной последовательности. Сначала берется как от степенной функции, то есть от 4 степени. Получаем 4*(3х-1)^3, а затем надо умножить на производную от суммы (3х-1), она равна 3. Таким образом производная у=(3x-1)^4 равна 12*(3х-1)^3

Для нахождения производной всей функции у=sqrt(3x+2)*((3x-1)^4)воспользуемся свойством: производная произведения равна производной первого множителя на второй плюс производная второго множителя на первый.

Тогда y`= (3*(3x-1)^4)/(2*sqrt(3x+2))+ 12*(sqrt(3x+2))(3х-1)^3

[Robot]

Другой пример

у= (sin(x^2-3x+1))^2 (то есть sin в квадрате от функции x^2-3x+1)

Проследим последовательность нахождения значения этой функции: сначала от х находим значение квадратного трехчлена, затем берем функцию sin, которую потом возводим в квадрат.

Значит производная будет находиться в следующей последовательности: сначала от степенной (от квадрата),умножаем на производную от sin, и умножаем на производную от квадратного трехчлена

Более точно y`= 2*(sin((x^2-3x+1))*(cos(x^2-3x+1))*(2*x-3)

[Tobu]

Ребят, спасибо вам огромное!!! Я наконец-то разобралась!!!

Нужна помощь с переводами (английский, частично японский) - обращайтесь)))))

[Паломник Оптимизма!]

Вот мне бы кто мат. анализ сделал...

Я так понял тут его никто не знает -_-

[Гость]

непревычно читать в электронном варианте..на письме я бы понял

[Гость]

Кто-нибудь может сказать как найти производную а*б*с ?

[Гость]

Похоже что 3 года назад это знали лучше )

[Sensile]

Дорогие Гости!
Это топик трехлетней давности, в который никто не заглядывает
Чтобы Вам оказали помощь, надо создать свой топик и Вам помогут
Инструкции
Обращение к Гостям

[Гость]

помогите пожалуйста....надо найти производную :
(под кубическим корнем (2х-5)в квадрате)и всё это в степени Sin куб 2х

[Гость]

у= - (8+х^2)/корень (х^2-4) выражение все с минусом)

[Гость]

Гость, создайте свой топик

[mpl]

Владелец дневника видит IP-адреса пользователей, оставивших комментарии!