Планиметрия

[wpoms.]

На окружности выбраны точки `A, B, D`, так что длины дуг `AB` и `BD` равны (см. рисунок). На дуге `BD` выбрана точка `C`. Точка `M` является основанием перпендикуляра, опущенного из `B` на отрезок `AC`. Докажите, что длина отрезка `AM` равна сумме длин отрезков `CD` и `CM`.

@темы: Планиметрия

Comments

[~ghost]

Всем доброго времени)
Ох, и знаменитая задача. Точно помню, что есть много вариантов доказательства, и есть даже какое-то очень простое доказательство — и конечно, не помню, какое..
сейчас придумала "решение" - только что-то оно очень страшное )) и явно можно проще..

но наверное, лучше так не делать

1) "разворачиваем" отрезок `CD` на прямую `AC` - т.е. откладываем `CK = CD`, и получаем отрезок `MK` равный сумме отрезков: `MK = MC + CD`
(т.е. доказать надо, что `AM = MK`, т.е. достаточно доказать, что треугольник `ABK` - равнобедренный — тогда высота `BM` будет и медианой)
2) обозначаем углы: `/_BAC =alpha` (тогда и `/_BDC = alpha`) и `/_CDK = /_CKD = phi` , и "посчитав углы" получаем, что и углы при основаниях в равнобедренных треугольниках `Delta AOB` и `Delta BOD` тоже будут ` = phi`
3) рассматриваем 4-угольник `BKDE`, где точка `E` - пересечение радиуса `BO` с отрезком `AC`;
угол `/_BEK = phi + alpha`, а с другой стороны еще и `/_BDK = phi + alpha`, а если углы равны ( `/_BEK = /_BDK` ), то 4-угольник `BKDE` - вписанный (можно описать окружность), а значит и `/_BKE = /_BDE`;
4) но угол `/_BDE = /_BAE = alpha` - так как равны треугольники `Delta BDE = Delta BAE` ( 2 стороны и угол между ними );
то есть `/_BKE = /_BDE = alpha` => треугольник `Delta ABK` - равнобедренный ( и высота `BM` явл. одновременно медианой, и `AM = MK = CM + CD` )

[VEk]

~ghost, Вы правы, эта задача очень знаменита.
Есть вот такое решение.
Опустим из точки B перпендикуляр BN на прямую CD. Тогда прямоугольные треугольники ABM и DBN равны (гипотенуза и острый угол), поэтому BM=BN и AM=DN.
Далее, прямоугольные треугольники BMC и BNC равны (гипотенуза и катет), поэтому CN=CM. Остальное очевидно (извините, что без рисунка).

[janka-x]

[VEk]

janka-x, красиво. Спасибо!

[~ghost]

VEk, janka-x, спасибо!
И то, и то решение - хорошие)

VEk, Ваш вариант - получить сумму отрезков на прямой `CD` (а не на `AC`, как я пыталась) - тоже очень красиво.. ( и почти все равно, с чего начинать: с того, что провели перпендикуляр `BN_|_CD`, или с того, что построили `CN=CM`, — все равно можно доказать все то же самое..)

janka-x, красиво

[All_ex]

~ghost, VEk, janka-x, Спасибо ... Да, красивая задача... Я про неё тоже как-то вспоминал... правда без решения...