Помогите исправить....

[jasenka88]

Прорешала огромное кол-во задач на эту тему, но вот застопорила одна задача.... все вроде понятно, но ответ никак не хочет сходится....

Задача:
Найти циркуляцию векторного поля а по контуру Г непосредственно и по теореме Стокса.

а: 2zi+yzj-xk

Г: x=y^2+z^2, x=9.

Контур получается окружность с радиусом 3.

При непосредственном вычислении получается ответ =-144

По теореме Стокса беру за плоскость x=9, а значи нормаль n={1,0,0} и ответ выходит -36....
(когда за плоскость беру параболойд, ответ еще страшнее...что-то не сходится совсем)
Решения прикрепляю...
Подскажите, пожалуйста, где ошибка, измучилась вся(((

http://static.diary.ru/userdir/3/1/3/8/3138938/78352677.jpg

@темы: Теория поля, Приложения определенного интеграла, Векторный анализ

Comments

[~ghost]

Доброго времени всем)
jasenka88, 1) при непосредственном вычислении - мне "не нравится", что от `int_0^(2*pi) (...)` - взяли и перешли к `4*int_0^(pi/2) (...)`—
разве можно так ?.. не знаю, как это нормально объяснить.. у Вас подынтегральная функция "ничему не симметрична" - не повторяется на отрезках `[0; pi/2]`, `[pi/2; pi]`, `[pi; (3pi)/2]` и `[(3pi)/2; 2pi]`
(может, подойдет еще кто-нибудь, кто подскажет нормально..))
2) в формуле Стокса: `n` - единичный вектор нормали к поверхности ( к параболоиду `x -y^2 -z^2 =0`).. Как он у Вас получился `n = {1;0;0}` ?? =(

у меня в ответе все время "нули" получаются )
(и по Стоксу, и так)
может, тоже где-то глупостей наделала, - но вроде все-таки =0 ))

[jasenka88]

~ghost, я уже тоже стала сомневаться в правильностиразбиения площади на 4... ну это у меня наверное глюк произошел на фоне сомнений по поводу 0.

А когда вычисляем по Стоксу можно идти двумя способами 1) взять за основу либо параболойд и тогда нормаль конечно другая, 2) взять за основу х=9 и тогда как я считаю... мне больше так нравится, но разницы не должно быть) И там я тоже дроблю на 4 из-за того что 0 получался и в том и в том способе...

Наверное нельзя всетаки дробить... и тогда будет 0.

[~ghost]

Оу.. извините)) конечно, можно и кусок плоскости `x = 9` считать той поверхностью.. (это меня понесло в направлении "не ищем легких путей" )
тогда, конечно, `n = {1;0;0}`
только тоже не пишем " 4 интеграла от 0 до pi/2 "

[~ghost]

можно даже не переходить к полярным в интеграле `iint_{y^2+z^2 <=9} (-y)dydz`
`=int_(-3)^3 (dz) int_{-sqrt(9-z^2)}^{sqrt(9-z^2)} (-y)dy = - int_(-3)^3 ( ( y^2 / 2)_{-sqrt(9-z^2)}^{sqrt(9-z^2)} )dz = - int_(-3)^3 (1/2*( (9-z^2) - (9-z^2) ) )dz = - int_(-3)^3 0*dz = 0`

[~ghost]

кстати, даже если за плоскость брать параболоид - то всё то же самое..
только `vec(N) ={1; -2y; -2z}`, его длина `|vec(N)| = sqrt(1 + 4y^2 + 4z^2)`, т.е. единичный `vec(n) = 1/sqrt(1 + 4y^2+4z^2) *{1; -2y; 2z}`, и `vec(n)*vec(rot(a)) = (-7y)/sqrt(1+4y^2 + 4z^2)`;
но тогда еще и дифференциал `dS = sqrt(1 + (x '_y)^2 + (x '_z)^2)dydz = sqrt( 1 + 4y^2 + 4z^2)dydz` ( и все тот же интеграл `iint_{y^2 + z^2 <= 9} (-7y)dydz =0` )

[jasenka88]

~ghost, Поняла свою ошибку в разбиении интеграла, пришлось исправить еще некоторые примерчики)

Не посмотрите аналогичный пример,
a=yzi+2xj-yk
Г: x^2+y^2=4, z=x+2.
По стоксу получилось 4Pi, а непосредственно 12 Pi.... кажется перезанималась....

1) По Стоксу: \int_0^2Pi\int_0^2 (-r*cos(\phi)+1)drd\phi
2)Непосредственно делаю через замену
x=2cos(\phi)
y=2sin(\phi)
z=2cos(\phi)+2
Можно же так?

[jasenka88]

Все)))) нашла ошибку))) ответ 4пи)

Спасибо, что не оставили в беде)))

[~ghost]

Ой.. )) jasenka, простите, я даже глянуть не успела..)) на последнее задание..
(смотрела на задачу в другом топике )

[jasenka88]

~ghost, Хорошо, что есть отзывчивые люди) Надо мне тоже начать помогать людям на досуге ))

[~ghost]

тоже начать помогать людям на досуге ))

только последнее Ваше задание - я попробую посчитать, и с Вами сверить ответы, - но это ночью.. я ушла.. мне сейчас из сети убежать надо..

[~ghost]

Спасибо! (я увидела)