Небольшая проблема с доказательством.

[carameli_girl]

Добрый вечер!
Требуется небольшая помощь с доказательством. Точнее, доказательство уже есть, но боюсь упустить какие-то детали.)
`int_(-1/2)^(1/2) cos(x)*ln((1+x)/(1-x))dx=0`

-(требуется доказать)
Доказываю так. `cos(x)` - четная функция, симметрична относительно оси Oy. Рассмотрим функцию `ln((1+x)/(1-x))`
выражение под знаком логарифма представляет собой параболу с центром в точке (0,1), c ветвями, направленными вниз. Она определена на -1;1. данная функция-четная на -1;1. Она симметрична относительно Oy. Функция `y=ln(x)`
не является ни четной, ни нечетной. на отрезке -1/2;0, она пробегает то же множество значений, что и на отрезке 0;1/2. Т.Е `ln((1+x)/(1-x))` -четная на области определеления.
Произведение четных функций-четная функция. => `cos(x)*ln((1+x)/(1-x))` -четная функция, тогда по свойству интеграл равен нулю.

Вопрос: есть ли какие-то неточности, ошибки в логике, и т.д.?
Заранее спасибо.))

@темы: Интегралы

Comments

[All_ex]

выражение под знаком логарифма представляет собой параболу - неверно... во-первых, парабола это график... а, во-вторых, функция под знаком логарифма имеет другой график...

-четная функция, тогда по свойству интеграл равен нулю. - неверно... это справедливо для НЕчётных функций...

[Trotil]

Зачем так длинно?
Достаточно проверить f(-x)=-f(x) сразу для всей функции на [-1/2, 1/2]

[carameli_girl]

Точно. Достаточно просто проверить условие НЕчетности. Тогда получается:
`f(-x)=-f(x)`. `f(-x)=cos(-x)*ln((1-x)/(1+x))= cos(x)*ln((1-x)/(1+x))^(-1)=-cos(x)*ln((1+x)/(1-x))` на области определения, куда, очевидно входит рассматриваемый отрезок.)
Так?)

[All_ex]

так...

[carameli_girl]

Спасибо большое!) Очень помогли