вторник, 23 апреля 2013
17:10

Найти целочисленные решения

все записи пользователя в сообществе rom7
Найти все а, для которых неравенство `6t^2 + ta + 1 <=0` имеет единственное целочисленное решение

В предлагаемом решении у меня получилось a>6 и a<-6.
Это если исходить из того, что один из корней должен быть >=1. И они оба должны быть либо больше, либо меньше 0.

Но целочисленные решения получатся, если из дискриминанта извлекается корень. Как это условие можно оговорить математически?

@темы: Задачи с параметром

URL
Комментарии
23.04.2013 в 19:51

~ghost
Всем доброго времени) rom7, Ваше решение я что-то не поняла.. В условии "имеет единственное целочисленное решение", а у Вас сравнение корней с 1 и с 0.. =( И сами корни уравнения тоже не обязательно рациональные. Корни (вещественные) должны существовать, и решением неравенства будут `t in [t_1; t_2]`, и такой отрезок должен содержать целое число, при чем только одно, т.е. расстояние (разность) между `t_2` и `t_1` должна быть >=1, и меньше 2.
UPD Извините.. Ak-sakal, Спасибо!=) Действительно, у меня получилось "что-то не то"..
Если расстояние между корнями > 1, то целочисленная точка на отрезке гарантированно есть, но может быть и расстояние < 1, а целое число "впишется"; и так же - может быть расстояние < 2, а там уже 2 целых..
Для тех, кто заглянет в топик: нормальное решение - дальше)) И я пыталась "исправиться" (после того, как мне подсказали=)) - в комментах ниже..
URL
23.04.2013 в 21:00

rom7
t1*t2 = 1/6 (теорема Виета)
Значит t1 и t2 либо оба положительные, либо оба отрицательные.
Если один из них целочисленный, то сумма t1+t2>=1 в случае, когда они оба положительны. Либо их сумма t1+t2<=-1, когда они оба отрицательны
URL
23.04.2013 в 21:22

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Обозначим для удобства `a = 12b`, тогда имеем неравенство `6*t^2 + 12*b*t + 1 <= 0`
`D = 144*b^2 - 24 >=0 \ \ => \ \ b^2 >= 1/6`
`t_{\pm} = {-12*b \pm sqrt(144*b^2 - 24)}/12 \ \ => \ \ t_{+} - t_{-} = {sqrt(144*b^2 - 24)}/6 < 2 \ \ => \ \ b^2 < 7/6`
Поскольку вершина параболы находится в точке `t_0 = -b`, то целочисленный корень целочисленное решение неравенства должно отстоять от неё не далее, чем на `1/2`... среди целых чисел, которые удалены от некоторых точек множества `sqrt(1/6) <= |b| < sqrt(7/6)`, имеются `0; +-1; +-2`...
Нуль неравенству не удовлетворяет....Осталось рассмотреть случаи:
а) 1 - удовлетворяет, 2 - не удовлетворяет...
б) 2 - удовлетворяет, 1 и 3 - не удовлетворяют...
и с отрицательными числами аналогично...

Вроде ничего не упустил... :upset:
URL
23.04.2013 в 22:02

rom7
Почему разность корней должна быть меньше 2 и больше 1 ??
Корнями могут быть 1/6 и 1 (разница 5/6)
Может быть 12 и 1/72 (разница больше 2)
URL
23.04.2013 в 22:08

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Почему разность корней должна быть меньше 2 - в отрезок длины 2 заведомо попадает 2 целых числа... Может быть 12 и 1/72 (разница больше 2) - ну, и сколько тут целых точек?
и больше 1 ?? - про это я не говорил...
URL
23.04.2013 в 23:15

rom7
Получили неравенство sqrt(1/6) <= |b| < sqrt(7/6)

Раскрыли модуль, округлили: -1,08<b<-0.4
0,4
b=1, b=-1

Вроде все! Ничего лишнего
URL
23.04.2013 в 23:16

rom7
второе будет 0.4<b<1.08
URL
23.04.2013 в 23:20

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Раскрыли модуль, округлили: -1,08 < b < -0.4
b=1, b=-1
Вроде все! Ничего лишнего - Вообще не в ту степь... Вас не спрашивают про целые `b`... нужны целые значения `t`, удовлетворяющие неравенству... причём в единственном экземпляре...
URL
23.04.2013 в 23:23

rom7
хотя стоп, этого мало
URL
23.04.2013 в 23:25

~ghost
Почему разность корней должна быть... больше 1 ?? — потому что я протормозила, и сильно
(Извините.. в первом комменте исправила..)
URL
23.04.2013 в 23:31

rom7
Да, это уже на мне недосып сказывается....

Т.е. не понял "Поскольку вершина параболы находится в точке `t_0 = -b`, то целочисленный корень должен отстоять от неё не далее, чем на `1/2`... среди целых чисел, которые удалены от некоторых точек множества `sqrt(1/6) <= |b| < sqrt(7/6)`"
Откуда расстояние 1/2 ??
Представляю себе рисунок, парабола ветками вверх, расстояние между корнями <2....
URL
23.04.2013 в 23:37

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
то целочисленный корень должен отстоять от неё не далее, чем на `1/2`. - Извините, не правильно выразился... имеется ввиду целочисленное решение неравенства...
URL
23.04.2013 в 23:56

Ak-sakal
Иногда я делаю ошибки, иногда несу чушь. Но вы должны различать.
Предлагаю рассмотреть случай положительных корней. Т.к. их произведение равно 1/6, то хотя бы один из них меньше 1. Для наличия ровно одного целого решения, а именно решения, равного 1, второй корень должен быть между 1 и 2. Поэтому значения трехчлена в 1 должно быть отрицательным, а в 2 - положительным. Решаем систему неравенств. и получаем ограничения на `a`. Случай отрицательных корней симметричен.
URL
24.04.2013 в 00:08

Ak-sakal
Иногда я делаю ошибки, иногда несу чушь. Но вы должны различать.
Да, не забудьте случай с корнями 1/6 и 1, который Вы уже нашли раньше. Т.е. окончательно в первом случае получим `-25/2<a<=-7`
URL
24.04.2013 в 00:33

~ghost
Ak-sakal, Спасибо!.. (красиво..)
URL
24.04.2013 в 01:10

rom7
Да, спасибо. Очень красивый подход. Но только в том случае, если мы точно знаем, где лежит один корень
URL
24.04.2013 в 01:13

~ghost
..а тут точно знаем, что один корень - между 0 и 1 (в случае двух положительных)...
URL
24.04.2013 в 15:12

~ghost
Вообще, наверное, сама "идея" рассматривать расстояния между корнями (то, что я пыталась сделать) - здесь "не к месту"..
Получается что-то такое:
если расстояние < 1, то или 1 целое, или ни одного
расстояние < 2 , то 0 или 1 или 2 целых
и т.д... расстояние < n -- от 0 до n целых ( если брать расстояние <= n , то до (n+1) целых)
и "в обратную сторону":
если расстояние >= 1, то не менее 1 целого
и т.д... расстояние >= n -- не менее n целых
И из всего этого - не вижу, как составить условие для "ровно n целых".. (наверное, так не получится..)

Ak-sakal :red:
И All_ex, Спасибо!
(все-таки это я тут сначала написала "неправду" - которую пришлось исправлять :) )
URL
08.08.2013 в 21:05

rom7
Я опять возвращаюсь к заданию.

Решая тривиальным методом, вывели условие`sqrt(1/6) <= |b| < sqrt(7/6)`,

Т.е. получается, что вершина параболы может лежать в пределах 0.4<=x<1.08
All_ex в посте 3 берет вариант, что одним из нулей параболы может быть х=2
Но ведь если парабола скажем в вершине 1,08 и одна её ветка пересекает Х в точке 2, то на никак не может иметь один целочисленный корень, их будет 2.
Или я не так понял этот пост
URL
08.08.2013 в 22:11

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
rom7, Но ведь если парабола скажем в вершине 1,08 и одна её ветка пересекает Х в точке 2, то на никак не может иметь один целочисленный корень, их будет 2.
Я просто указал возможные целые числа, удалённые от выделенного множества на допустимое расстояние...
А дальше надо проверять варианты...
а) 1 - удовлетворяет, 2 - не удовлетворяет... - отсюда получается ответ, указанный Ak-sakal ...
б) 2 - удовлетворяет, 1 и 3 - не удовлетворяют... - А здесь получим набор противоречивых неравенств с пустым множеством решений...
URL