1. Пусть F2 = {0,1}. Определим операции сложения и умножения на
этом множестве следующими равенствами: 0 + 0 = 1 + 1 = 0, 0 + 1 =
1+0 = 1, 0*0 = 0*1 = 1*0 = 0 и 1*1 = 1. Докажите, что F2 — по-
ле. (Проверять ассоциативность и дистрибутивность не обязательно,
но надо проверить существование аддитивной и мультипликативной
единиц и обратных элементов.)
читать дальше2. Пусть F2 —поле из упр. 1.
(a) Рассмотрим полином g(х, у) = х^2у+у^2х принадлежащий F2 [х, у]. Докажите, что
1.g(х, у) = 0 для всех (х, у) принадлежащих F2 Объясните, почему этот факт не
противоречит предложению 5(Предложение 5. Пусть к — бесконечное поле u f принадлежит k[x1,... ,хn].
Тогда f = 0 в k[x1,... ,хn] в том и только том случае, когда f: к в степени n в k является нулевой функцией).
(b) Найдите ненулевой полином в F2[x,y,z], который обращается в
нуль в каждой точке из F^ и который является полиномом именно
от трех переменных2'.
(c) Найдите ненулевой полином в ?2 [х\,..., хп], который обращает-
ся в нуль в каждой точке из FJ. Можете ли вы отыскать такой
полином, который при этом был бы полиномом именно от п пе-
ременных2'?
3. (Это упражнение требует знания абстрактной алгебры.) Пусть р —
простое число. Кольцо вычетов по модулю р является полем из р
элементов, которое обозначается через Fp.
(a) Выясните, почему Fp — {0} является группой по умножению.
(b) Используя теорему Лагранжа, докажите, что ap~l = 1 для всех
a G Fp - {0}.
(c) Докажите, что ар = а для всех а ??р. Указание: случаи а = 0 и
а ф 0 рассматриваются отдельно.
(d) Найдите ненулевой полином из Fp[x], который обращается в нуль
в каждой точке поля Fp. Указание: используйте результат п. (с)
этого упражнения.
-
-
17.04.2013 в 18:24Аналогичные проблемы pay.diary.ru/~eek/p92824715.htm
Дата регистрации: сегодня
Правила сообщества eek.diary.ru/p0.htm?oam#more4
Правила оформления математических выражений eek.diary.ru/p164249281.htm
-
-
17.04.2013 в 18:27-
-
17.04.2013 в 20:20